直接间断galerkin有限元方法求解反应扩散方程组

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1、2015年3月高等学校计算数学学报第37卷第1期直接间断Galerkin有限元方法求解反应扩散方程组张荣培f辽宁石油化工大学理学院，抚顺113oo1)THEDIRECTDISCONTINUOUSGALERKINFINITEELEMENTMETHODFORREACTIONDIFFUSIONEQUATIONSZhangRongpei(SchO0lofScienceLiaoningShihuaUniversity，Fushun11300)AbstractThispaperdiscussesthedirectdiscontinuousGalerk

2、in(DDG)finiteelementmethodfornonlinealrreactiondifusionequations．Thebasefunctonn矗niteelementspaceisconstructedbasedontheGaussintegrationpoint，theIl1lmer—icalfluxisobtainedbysolvingthedifusivegeneralizedRiemannproblem(dGRP)，sowepr0poseadirectdiscontinuousfiniteelementmetho

3、d．Theimplicitintegra_tionfactorfIIF)timediscretizationisappliedforsolvingthenonlnearordnarYdi髓rentialequations(ODEs)producedbyDDGspatialdiscretization·umencaexDerimentsarisingfromtheecologymodelarepresentedtoverifythee~ciencyofourmethod．KevWOrdsDirectGalerkinmethod，reacti

4、ondifusionequatiOils’mplctnte—grationfactormethod．AMS(2000)subjectclassifications65M60中图法分类号O241．82国家自然科学基金资助项目(11261035)收稿日期：2012—01_03．2·张荣培：直接间断Galerkin有限元方法求解反应扩散方程组第1期1引言化学反应流、燃烧以及生态学上的食物链种群演化等模型，在数学上都可以用如下的反应扩散方程(组)来描述OU=DAU+f(u)，(，￡)∈【2×(0，，(1．1)其中U—fu1(X，t)，u2(x，t

5、)，⋯，札M(x，t)]为各物种密度，M为参加反应的物种数，D为关于扩散系数的M×M对角矩阵，△是Laplacian算子，f是关于u的非线性函数．t为时间，为一维或二维有界区域．近年来，许多学者对方程(1．1)提出了多种数值方法，主要有有限差分方法，有限元方法等f1-3]．间断Galerkin(DG)有限元方法是近年来比较流行的数值方法，该方法最初用于求解双曲方程f4]．DG方法通过在原方程两边同时乘以试探函数并在每个单元积分，得到原问题的弱形式，然后选取适当的试探函数空间，并在单元边界引入数值通量形成连接条件．选择合适的数值流量是DG方

6、法的关键．在DG求解双曲方程时，可以通过求解黎曼问题构造各种数值流量对=F扩散方程的弱形式，定义适当的数值流量被证明是一项挑战性的工作『61，Shu证明了简单的选择一阶导数的平均作为边界处的数值流量是错误的．近十年来，出现了多种方法解决扩散方程的数值流量定义问题．Cockburn和Shu在文献『71中引入辅助变量，将对流扩散方程重新改写为只含有1阶导数的方程组，在方向上交替地选择数值流量，提出了局部间断Galerkin(LDG)方法；Bauman和Oden人在[8]的基础上通过添加额外的单元边界项来保持稳定性，提出了一种间断有限元方法；L

7、iu等人不引入辅助变量，而是直接在原方程的弱形式上构造数值流量，提出了直接间断Galerkin方法f91．Gassner通过求解扩散方程的广义黎曼问题(GRP)，构造了数值流量，提出了基r扩散广义黎曼问题的间断Galerkin方法『101．综上各种DG方法，它们之间互相联系，在特定情形下可以互相转化，在不同的应用领域具有各种的优势．本文基于Gauss积分点构造基函数，应用f9]中的直接间断Galerkin(DDG)有限元方法求解反应扩散方程(1．1)．对方程(1．1)进行DG空间离散后，得到一组非线性常微分方程组．对于DG离散得到的非线性

8、ODEs的求解是一项巨大的挑战．显式时间离散方法虽然不用形成总刚度矩阵，而且可以保持在DG在每个单元上求解的特性，但是对时间步长的限制却更加严恪，一般情形下，显式时间步长的选择为At=ca×△