基于坏单元指示子的自适应RungeKutta间断Galerkin有限元方法

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1、DissertationforPh．DAdaptiveRunge·KuttadiscontinuousGalerkinfiniteelementmethodsusingtroUbIea-Ce¨InaICatO怜o■■■■■■●HongqiangZhuSupervisedbyProfessorJianxianQiuComputationalMathematicsDepartmentofMathematics，NanjingUniversityMat,2010}㈣剿鱼窒盘堂鱼窒生垒些坌塞圭塞撞垩童真旦丛基

2、于坏单元指示予的毕业论文题目：自适应Runge．Kutta间断Galerkin有限元方法计算数学专业2006级博士生姓名：朱洪强指导教师(姓名、职称)：邱建贤教授摘要求解双曲守恒律方程的Runge—Kutta间断Galerkin(RKDG)方法具有精度高、易于处理复杂计算区域和边界条件、并行效率高、易于进行却自适应等优点。这些优点让RKDG方法迅速发展成为计算流体力学的主流方法之一，并已推广应用到了更多的领域。非线性双曲守恒律的解一般都含有间断，多维时解的结构更是非常复杂，这使得研究自适应的RKDG方

3、法成为必要。而目前这方面的研究还相对较少，所以本文选取它作为研究内容。为了使RKDG方法稳定，必须加入非线性的限制器。限制器的做法有很多种，本文采用一种“坏单元指示子”配合数值解重构的做法。坏单元是指限制器需要发挥作用的单元，也就是含有间断的单元。我们利用坏单元指示子找出解间断的位置来设计自适应算法，以达到精确捕捉间断，提高数值解质量并节省计算时间的目的。本文比较系统地研究了基于坏单元指示子的自适应RKDG方法。我们利用坏单元指示子设计了几个新的自适应算法，用经典的数值算例测试了它们的效果，并重点比较

4、了各种不同坏单元指示子在算法中的表现，以得到用于自适应的最优的指示子。通过对坏单元进行加密，对成对的“好单元"进行合并，我们设计了一类求解一维双曲守恒律方程的h自适应RKDG算法，从数值上验证了这个算法的收敛性和高效性，并比较了各种坏单元指示子在这个算法中的表现，得到了对此算法最优的坏单元指示子。我们又将此算法推广到了二维情形，用来求解二维双曲守恒律方程。维度的增加使推广过程遇到了很多数值实现上的困难，我们详细分析了这些困难并给出了相应的解决方案。数值试验结果令人满意。我们还将这个算法应用到了一维和二

5、维Hamilton．Jacobi方程上，给出了求解此方程的使用坏单元指示子的h自适应RKDG算法，并使用一些算例测试了算法的数值效果。另外，我们设计了一个求解一维双曲守恒律方程的r自适应RKDG算法。其思想是先用坏单元指示子标记坏单元，然后移动坏单元和“大单元"及它们附近的单元，使单元向间断附近聚拢。我们同样比较了不同的坏单元指示子在算法中的表现，找到了对此算法相对最优的坏单元指示子。数值试验也表明了这个算法可以精确捕捉间断和节省计算时间。关键词：间断Galerkin方法，自适应方法，坏单元指示子，双

6、曲守恒律，Hamilton．JacobiTHESIS：AdaptiveRunge—KuttadiscontinuousGalerkin6痖teelemen—tmethodsusingtroubled—cellindicatorsSPECIALIZATION：ComputationalMathematicsPOSTGRADUATE：HongqiangZhuMENTOR：ProfessorJianxianQiuAbstractTheRunge-KuttadiscontinuousGalerkin(砒①G)

7、methodsforsolvinghyperbolicconservationlawsarehi．曲．orderaccurate，stable，andhighlyparallelizablemethodswhichCaneasilyhandlecomplicatedgeometries，boundaryconditionsandhp—adaptivestrategies．Thesepropertiesnotonlyhavebroughtthesemethodsintothemainstreamofco

8、mputationalfluiddynamics，butalsohavepromptedtheirapplicationstoothersubjects．SolutionsofnonlinearconservationlawsusuallyhavediscontinuitiesandCallbeverycomplicatedinmulti．dimensions．SothestudyofadaptiveRKDGmethodsisnecessary,whic