双曲型方程的galerkin有限元方法new

《双曲型方程的galerkin有限元方法new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、维普资讯http://www.cqvip.com第14卷第2期常熟高专学报V0l14No22000年3月JournalofChangshuCoHegeMKIF2000双曲型方程的Galerkin有限元方法一Z戴培良(常熟高等专科学校数学系常熟215500)摘要：主要研究了二阶双曲型方程的Galerkin有限元方法，利用椭圆投影，导出了L2模及能量模误差估计关键词：双曲兰：三墨壹堡垄苎；误差估计9fL』f雨瞎元中国分类号024182壶献标识码：A文章编号：1008—2794{2000)02—0023—05用有限元法来研究双曲型方程即波动方程有许多，在此不多加阐述．本文针对

2、线性双曲型方程采用Galerkin有限元半离散及垒离散格式来加以研究，推出相应的一些误差估计．考虑下面的问题：萼3t：△+，(，f)，(、，)∈n×[0，州I’：‘，0)=“。()t∈n}()=()，∈nI“(，f)：0，(，)∈an×[0，列J其中D为平面上有界凸多角形区域，aD为对应边界，A为Laplace算子显然，问题(1)等价于下面的问题：：△+f(，)d=Q(2)“(，0)=o()Q(，0)=()u(，f)=0上述问题对应的变分形式如下：对V∈o(t'2)(，山=(加)(=(Q，(“(，0)一“D，口)=0，(Q(0)一p，)=0收穑日期：1999—10—22

3、作者简舟藏培良．男．1965年生，副教授，南京航天大学应用数学专业博士研究生il维普资讯http://www.cqvip.com24常熟高专学报2000芷其中m，)；』V·V如，()=』“·胁VI(毒，毫，)1Galerkin半离散有限元格式记日(n)为通常的sobolev~间，相应范数为ll·ll，0-I10表示L2模．将n进行正则拟一致三角剖{，^为音!『分单元最大直径，记分，设^为上一正则拟一致三审铷分，K记为剖分三角形单元，D=euJ．,c0(n)为^上分片线性函数构成的有限元空间．这样，问题(3)的Galerkin半离散有限元格式为：V∈s((m)，(4。)(

4、，)=(Q)，(46)(碥一，)=0，(4c)(Q}一，)；0，(4d)下面对上述有限元格式的解‰，Q与问题(3)的真解u，Q之间进行误差估计．首先晗出一个重要的椭圆投影算子：．：(n)一sh，对v∈雕(n)，有∈S^，且满足方程(·v(一P)，)=0，V∈s^(5)上述算子P^具有下述性质[】：0—P^I10+hllv(一)Io≤chI1(s=1，2)(6)对于半离散情形有如下误差估计：定理l设Q，u及Q，‰分别是问题(3)及(4)的解，则有：(C表示与h，均无关的正常数)fQ^一Q+ff(‰一u)≤ch．(7)证明：记；Q一Q，=Q—Q，(，0)；0，由(1．3)，

5、(2．1)式可得：(Qhl_=)v∈(，)+((‰一u)，V)=(Q^．，)一(P^Q，)+(V‰，V)一(V“，V)=(f，)一(V“，V)一(Q．，)=(Q，)一(P^Q，)=(Q，)令=代人上式得：(，)+(V(‰一u)，V)；(，)(8)而(￡，)；1(，)={llII5(v(‰一“)，v)；(v(一“)，v(Q^一P^Q))=(v(一u)，v(Q^一Q))=(v(一v(一”=1IIv(‰一)(上式利用了(3)中第二个方程，(46)，(5)式得到)l(，)l≤IlIl0I1I10≤llQ}12I1}10≤c^Q+Ij维普资讯http://www.cqvip.co

6、m第2期戴培良：双曲型方程的Galerkin有限元方法25将上面三式代人(8)式司得：(lfj+f(一“)lfj)≤cfQ+惦I；+f1V(一)≤jr。llQl+rld(9)从而≤Jr0QIl+Jr0扣≤J『0^IIQlI；d+—Io0'llII扣f由CrownwMl不等式知：≤chlIQIlidt≤ch(10)从而由(2．6)式可得：。(-Ⅱ)ll。dI+啪⋯)≤ch这样再利用Q一Q0≤llQ一PhQIl0+Q—PQ}1。lJll。+JJJj(2)=由(tO)、(11)、(12)、(6)即可得到(7)式，定理1成立．2Galerkin全离散有限元格式本节所采用的Sob

7、olev空间及有限元空间同上一节．这样，问题(3)的Galerkin全离散有限元格式为：对V∈S^．(，)+。(+，)：(fo+，)，(13。)(，)=(×，)，(13b)(Ⅱ一Ⅱ0，)=0(13c)(Q}一，)：0(13d)其中△=古(时间步长)，也就是将[0，]等分N段每一时间间隔长度0：0(l<2<⋯(=，=“()，=()，fo=f(x~tn)，u+=i1[u++“，+={[++]，fo+={++，n]，格式中n=0，1，2，⋯，N一1．由微分子程数值解理论知，(3．1)式存在唯一解oL。，Ⅱ+1(n=0，1，2，⋯，N—1)．对于