地下水污染问题的galerkin有限元方法

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1、第16卷第3期现　代　电　力Vol116No131999年8月MODERNELECTRICPOWERAug11999地下水污染问题的Galerkin有限元方法张雅琴杨小煜华北电力大学(北京),北京102206电力科学研究院,北京100085摘　要　研究出现了地下水渗流理论中的一类带混合边界条件的地下水污染的数学模型,这是一个非线形抛物型耦合方程组的混合初边值问题,构造了四种全离散Galerkin有限元格式,讨论了格式的稳定性,最后给出数值数例,验证了方法的正确有效性。关键词　地下水;水污染;数学模型;

2、Galerkin有限元方法;稳定性;数值实验分类号　O175128由于受渗入地下的污水、化肥、农药的污染,溶解在地下水中的溶质既可随地下水作对流运动,也可以因水分子浓度扩散作扩散运动。地下水污染模型是由地下水流问题和溶[1]质运移问题组成。为了未来的地下水污染预测,须同时求解水流问题和溶质运移问题。[1]溶质运移方程为5s-¨õ(D(x)¨s)+¨õ(us)=g(s)(1)5t[1,2]式中　s为污染溶质的浓度,g(s)为源(汇)流量。D(x)是由Fick定律给出的质量扩散系数矩阵D(x)=5(x)d

3、mI(2)此外5(x)是介质的孔隙度,dm为扩散系数,I为单位矩阵,u为Darcy速度,由Darcy定[1,2]律给出u=-K(h)¨h(3)式中　h为水头压力函数。地下水水流方程为5h5hL(x)+¨õu=L-¨õ(K(h)¨h)=f(s)(4)5t5t式中　h为水头压力,L(x)为给水度,u为Darcy速度,f(s)为源(汇)流量。我们研究的渗流区域8为二维有界域,其边界逐段光滑,边界#=#1∪#2,meas(#2)>0,meas(#1)>0,meas(#1∩#2)=0,工程实际中经常遇到的边界条

4、件如[1]下s(x,t)û#=s1(x,t),h(x,t)û#=h1(x,t),x∈#1,t>0(5)11收稿日期:1999205219　张雅琴,1945年生,女,副教授,主要从事数值计算方面的研究。©1994-2006ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net第3期张雅琴等:地下水污染问题的Galerkin有限元方法47¨sõTû#=0,¨hõTû#=0,x∈#2,t>0(6)

5、221Galerkin格式的有限元方法按照通常的方法,我们容易得到初边值问题(1)～(6)对应的弱问题问题P　设h0,s0,hI,sI,f,g均为已知函数,求函数{h(x,t),s(x,t)},使得2121h∈L((0,T)];H(8)),s∈L((0,T];H(8))(7)2222ht∈L([0,T];L(8)),st∈L([0,T];L(8))5h(L(x),v)+(K(h)¨h,¨v)=(f(s),v)+〈k(hÉ)¨hÉ,võT〉#1(8)5t1Pv∈H(8),0

6、x)¨s,¨X)-(us,¨X)5t=(g(s),X)+〈D(x)¨sÉ-uÉsÉ,wõT〉#1(9)1PX∈H(8),0

7、m-1m(L(x)(hn-hh),vh)+a1(hh;hn,vh)$tmmm=(f,vh)+〈K(hÉ),¨hÉ,vhõT〉#1,vh∈Vh(11)1mm-1mm-1m(sh-sh,wh)+a2(sh,wh)+b(uh;sh,wh)$tmmmm=(g,wh)+〈D(x)¨sÉ-uÉsÉ,whõT〉#1,wh∈Wh　　格式2(Clank2Nicolson2Galerkin格式)01m-101m-1mm设hh,hh,⋯,hh∈Vh及sh,sh,⋯,sh∈Wh已知,求{hh,sh}∈Vh×Wh,使得1mm-

8、1qm-1qm(L(x)(hh-hh),vh)+a1(hh;hh,vh)$tm-1ö2mm=(f,vh)+〈K(hÉ)¨hÉ,vhõT〉#1,vh∈Vh(12)1mm-1gmqm-1gm(sh-sh,wh+a2(sh,wh)+b(uh;sh,wh)$tm-1ö2mmm=g,wh)+〈D(x)¨sÉ-uÉsÉ,whõT〉#1,wh∈Whqmmm-1gmmm-1qmmm-1　　其中hh=(hh+hh)ö2,sh=(sh+sh)ö2,uh=(uh+uh)ö2格