采用小波galerkin方法和扩展有限元法进行断裂力学分析

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1、国际工程数值方法杂志采用小波Galerkin方法和扩展有限元法进行断裂力学分析摘要本论文介绍了采用小波Galerkin方法和扩展有限元法进行断裂力学分析，小波Galerkin方法是解决以缩放/小波函数为基底函数的偏微分方程的一种新方法。在固体结构分析中,划分为等距结构性细胞和缩放功能的分析域都周期性的放置在整个域中。为了提高精度，小波函数叠加在具有高度应力集中区域的缩放函数上，比如靠近孔和切口处。因此，这个方法在固定网格方法中被认为是一种精细化技术。然而，在应用小波Galerkin方法时，基函数被假定为连续函数，这就为处理裂纹表面位置不连续问题带来一定的困难。在本研究中

2、，我们引入丰富的功能，在小波Galerkin公式考虑不连续位置和裂纹尖端的应力集中应用扩展有限元的概念。本论文介绍了上面提到的技术的数学模型及其数值实现。作为算例，文章提出了应力强度因子评估和二维裂缝的裂纹扩展分析。版权所有2012JohnWiley父子有限公司。关键字：有限元方法；小波Galerkin方法；扩展有限元方法；应力强度因子1.绪论断裂力学分析广泛地应用于受损结构完整性、安全性和可靠性评估，诸如飞机、轮船和动力设备。有限元方法作为强大的计算工具经常用于解决这些裂纹问题。商业有限元软件（如ABAQUS、MSC、MARC和ANSYS）能够建立二维或者三维的有限元

3、裂纹模型，利用这些有限元模型能够计算出其应力强度因子。然而，因为特殊有限元建模的要求，即使是一个有熟练技术的工程师，在建立裂纹模型和计算应力强度因子时依然包含复杂的工作，比如，用双节点来表示裂纹表面和用很细的网格来表示裂纹尖端附近的应力奇异性。研究员已经开发出数值方法来提高计算效率和减少用有限元进行断裂力学分析时的自由度。叠加方法为裂纹尖端附近的应力场提供解析解，而且有限元解叠加，能提高应力奇异性的近似程度。四分之一点元素发展到使元素一边崩溃然后转化裂纹尖端方向的中节点为等参单元。四分之一点技术可以表示（1/r）弹性体内裂纹尖端应力域的奇异性[2-6]。作为一种非传统有

4、限元替代传统方法,混合奇异元素[7-11]和混合Trefftz方法被提出来。尽管几乎所有的研究工作都是针对简单的静止裂纹问题，但在更早的前沿工作中，有限元就被用来解决裂纹问题。小波方法作为一个强大的数学工具被提出来表示信号或功能，并且这个方法已经被应用到信号处理和图像处理领域[15-19]。近年来，小波Galerkin方法已经被认为是解决偏微分方程的有效工具[20-22]。用小波Galerkin方法进行固体结构分析中，尺度函数和小波函数用来表示位置或应力。缩放/小波函数具有所谓的多分辨率特性。这些函数能够得出有层次结构的结果。不仅如此，基函数有紧凑的支撑条件，而且其结果

5、能在诸如靠近孔或缺口应力集中的高梯度区域得到改善。对比传统的有限元方法，新方法没有网格划分处理。这就需要在小波Galerkin方法的基函数多精度和多分辨率方面的应用做许多研究，例如结构分析方面的研究[23-28]，固体力学问题[29-32]，拓扑优化[33、34]和小波有限元的发展[35、36]。基于小波分级再生核（RK）方法也已经被提出来。Liuetal.[37]提出了用再生核和小波分析多尺度的方法。Liuetal.[38]还提出了移动最小二乘再生核。傅里叶分析被用来验证这个方法。在该文献中提出了所谓的同步收敛现象。Liuetal.[39]提出了同步再生核。不仅如此，

6、Liuetal.[40，41]提出了联合分层分区（PU）再生核。采用一系列基本的小波函数来构建分层分区。联合分层分区再生核已应用于非弹性固体应变的定位。小波函数多分辨率特性加强了裂纹尖端的高应力梯度。然而，几乎没有文章已经解决了断裂力学问题。因为大多数小波Galerkin方法的基函数在Galerkin公式中被假定为连续的，这就给处理裂纹表面位置跳跃问题带来困难。近年来，有限元框架中的扩展有限元方法（X-FEM）[43-45]已经作为有效处理裂纹问题而被提出。基于PU[46,47]概念介绍了新的基函数（富集函数），新的基函数很容易就能表示裂纹表面和裂纹尖端附近应力集中区域

7、的不连续性。而且，因为有限元网格的富集函数能独立地表示裂缝几何形状并且裂纹扩展分析不需要重新划分网格，所以裂纹扩展分析能力得到加强。Leeetal.[48]和Makasumietal.[49]提出了一个耦合技术，这个技术同时使用X-FEM和网格叠加方法来有效地处理裂纹模型和裂纹扩展。另外，Lietal.[50]利用扩展Voronoi单元有限元模型来解决脆性材料的内聚裂纹扩展问题。通过使用多项式函数、分值函数和多分辨率小波函数来解决内聚裂纹问题。扩展Voronoi单元有限元模型通过增加裂纹合并的生长机制进行扩展[51]。使用WGM和X-FE