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1、三.概率预测方法（马尔可夫预测方法）（一）学习内容基本内容：随机过程，马尔可夫过程，马尔可夫链，马尔可夫预测法，马尔可夫转移矩阵，马尔可夫图；重点内容：遍历性，平稳分布，马尔可夫预测法的应用；描述一种随机现象的变量,一般称为随机变量,记为,而随着时间参数t或其它参数变化而变化的随机变量,称为随机过程。定义：在给定的概率空间(,F,P)及实数集T,其中为样本空间,F为分布函数,P为概率,对于每一个,有定义在(,F,P)上的随机变量与之对应,则称为随机过程,一般简化为。（二）随机过程（三）状态与状态转移状态：当系统由一组确定的变量值来描述的时候，就说系统处于一个状态。状态转
2、移：当系统的变量从一个特定值变化到另一个特定值时，就表示系统由一个状态转移到另一个状态。（四）马尔可夫过程有一类事物在某种因素作用下，它们的状态概率在转移过程中，第n次结果的概率规律仅取决于第(n-1)次试验的结果，第(n-1)次试验结果仅取决于第(n-2)次结果等，而与更早的结果无关。定义：设随机过程,如果在已知时间t系统处于状态x的条件下,在时刻(>t)系统所处状态和时刻t以前所处的状态无关,则称为马尔可夫过程。从定义可知马尔可夫过程只与t时刻有关,与t时刻以前无关。（五）马尔可夫预测法定义：对马尔可夫过程的演变趋势和状态加以分析，用于预测事物未来状态的研究，称为马
3、尔可夫预测法。特点：适用领域：企业规模、市场占有率、选择服务点、设备更新等的预测。随机性：确切的未来状态是不可预测；2.局限性：只适合于马尔可夫过程；3.简便性：无需大量的统计资料。（六）马尔可夫链定义：设随机过程只能取可列个值把称为在时刻系统处于状态若在已知时刻，系统处于状态的条件下,在时刻()系统所处的状态情况与t时刻以前所处状态无关,则称为时间连续,状态离散的马尔可夫过程。而状态的转移只能在发生的马尔可夫过程称为马尔可夫链。从定义中可知,马尔可夫链是状态离散,时间连续的马尔可夫过程。（七）转移概率定义：设系统的离散状态为设表示第次转移到状态，表示系统转移前处于状态
4、。则称为系统在第次转移到状态的转移概率。（八）马尔可夫图（九）马尔可夫转移矩阵1.马尔可夫矩阵一般式（十）均匀马尔可夫链若则称该马尔可夫链为均匀马尔可夫链。用下式表示：（十一）预测模型前提：必须是均匀马尔可夫链。：初始状态；：经（K+1）次转移后的状态；：转移概率。例1求：预测以后第3个月顾客的购买情况。解答：第一步：建立转移矩阵第二步应用马尔可夫预测模型第三步结论解析上个月购买甲产品的顾客，到第三个月的转移概率：甲—0.496，乙—0.252，丙—0.252；上个月购买乙产品的顾客，到第三个月的转移概率：甲—0.504，乙—0.252，丙—0.244；上个月购买丙产品
5、的顾客，到第三个月的转移概率：甲—0.504，乙—0.244，丙—0.252；例2在上例中，假设本月购买甲、乙、丙商品的概率分别为：0.4，0.3，0.3时，试问四个月后购买甲、乙、丙商品的概率各为多少？解答：第一个月：第二个月：第三个月：第四个月：第五个月：1.马尔可夫链遍历性设为均匀马氏链（与第n次转移无关）,对一切状态i及j（或称）,存在不依赖于i的常数,使得则称均匀马氏链有遍历性遍历意义:遍历性说明不论系统自那一个状态出发,当转移次数n充分大时,转移到状态的概率近似于某个常数。2.平稳分布定义：设为有限s个状态的均匀马尔可夫链,若初始概率满足全概率公式：则称为平
6、稳的,称为的一个平稳分布表示第k次转移到状态的绝对概率；可以证明:结论:当马尔可夫链是平稳时,初始概率等于绝对概率；平稳均匀马尔可夫链在任一时刻处于状态的概率都相等,说明平稳。例3问：应在何处设置修船站最合适？解答：建立转移矩阵根据马尔可夫链平稳性，前次各租、还船点占有船只的概率等于本次的占有率。：甲处的占有率；：乙处的占有率；：丙处的占有率。根据上述的矩阵，可列出以下方程式。结论：应该在甲处建修船站。课堂练习机器生产零件时,机器处于两种可能状态的:=“可调整状态”----称良好状态=“不可调整状态”---称不良状态机器使用一天,它的转移概率为问:n天后，处于不良状态,
7、良好状态的概率为多少?练习为增加咖啡的推销,打算进行一次广告宣传,需要支付全部广告费用600万元,假设国内喝咖啡总人数为5000万,增加一个饮用本公司的咖啡的顾客,本公司可获利2元,通过广泛的社会调查(调查费用包括在广告费用中),知登广告之前顾客改变牌子概率为:到从我厂牌子别厂牌子我厂牌子0.80.2别厂牌子0.20.8在登了广告之后顾客改变牌子的概率为：到从我厂牌子别厂牌子我厂牌子0.80.2别厂牌子0.30.7问:从经济效益的角度决定要否做这个广告?
