系统预测技术三马尔可夫预测

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管理系统工程第11讲系统预测技术（3）作者：张成科广东工业大学经济贸易学院zhangck@gdut.edu.cn经济贸易学院SCHOOLOFECONOMICSANDCOMMERCE 系统预测技术（之三）经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程（第11讲）三、马尔可夫预测马尔可夫法：利用概率论中的条件概率等理论和方法研究事物状态转移的理论和方法。马尔可夫预测法：是将时间序列看作一个随机过程（称为马尔可夫链），通过对事物不同状态的初始概率和状态之间转移概率的研究，预测事物未来状况的一种预测方法，可应用领域：市场占有率，产品期望利润预测；企业发展规划预测；劳动力需求预测；设备更新预测等等。 系统预测技术（之二）经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程（第11讲）三、马尔可夫预测（一）马尔可夫链概述1马尔可夫链（1）状态所研究对象在某一时刻t所处的客观现实，称为该对象在时间t的状态。因所研究的对象及预测目标不同，状态可有不同的划分，如：“畅销”、“滞销”等。可编号为i=1，2，3，…… （2）离散随机过程（或随机序列）经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程（第11讲）{Xt()，t=1，2，3，……}为状态随机变量序列，“Xn=i”表示在时刻n处于状态i。简记为{Xt，t=1，2，3，……}。（3）无后效性若随机序列{Xt，t=1，2，3，……}在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么值无关，则称{Xt，t=1，2，3，……}具有无后效性。即：P(Xm=jXn=i，Xn-1=in-1，……，X1=i1）=P(Xm=jXn=i） （2）离散随机过程（或随机序列）经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程（第11讲）例1池塘里的青蛙：设有N张荷叶，编号为1，2，3，……，N，有一青蛙在这N张荷叶上随机地跳来跳去。{Xt=i，i=1，2，3，……，N}表示在t时刻该青蛙在第i张荷叶上。由于青蛙在将来处于什么状态（即哪张荷叶上），只与它现在所处的状态有关，与它以前所处的状态无关。故{Xt}具有无后效性。 例2某产品在市场所处的状态经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程（第11讲）状态1：畅销、一般、滞销若销量只与现时状态有关而与过去的状态无关，则它具有无后效性。畅销一般滞销畅销畅销一般滞销滞销 经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程（第11讲）例3广州城市出租车的状态：X=i，i=1，2，……，N。状态E1表示“在天河区”、状态E2表示“在越秀区”、状态E3表示“在海珠区”，……，等等。状态将来时刻现时刻状态状态转移情况状态E1状态EN状态E2状态E2状态E1状态ENE1E1E1E2E1ENE2E1E2E2E2ENENE1ENE2ENEN （4）马尔可夫链经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程（第11讲）具有无后效性的随机序列{Xt，t=1，2，3，……}称为马尔可夫链。2状态转移概率仅讨论有有限种状态的马尔可夫链的状态转移概率。记此有限种状态集为E={E1，E2，……，EN}，其中Ei={Xt=i}。（1）一步转移概率设t=m，则事物在第m时期的一步转移概率只与第m时期所处状态有关，在第m时期由状态Ei转移到Ej的概率为：pij(m)=Prob{Ej|Ei}=Prob{EjEi}=Prob{Xm+1=j|Xm=i} （4）马尔可夫链经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程（第11讲）若一步转移概率pij(m)与转移时期m无关，即对nm，有pij(m)=Prob{Xm+1=j|Xm=i}=Prob{Xn+1=j|Xn=i}=pij(n)则称马尔可夫链是齐次的（或称均匀的）。以下假设所研究的马尔可夫链都是齐次的。此时可记pij(m)=pij，即pij=Prob{Xm+1=j|Xm=i} 例4状态转移概率的计算经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程（第11讲）某地区有甲、乙、丙三家食品厂生产同一种食品，有1000客户。假定在研究期间无新用户加入也无老用户退出，只有用户的转移。已知5月6月的变动情况如下：从到甲乙430400甲5月份合计乙丙5050500203008040010106月合计36080100丙2101000试计算其状态转移概率。 经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程（第11讲）从到甲乙430400甲5月份合计乙丙5050500203008040010106月合计36080100丙2101000试计算其状态转移概率。解：表中各列表明，如第1列：甲厂产品6月份430客户中，有400客户是5月份的老客户，20个为5月份从乙厂转移过来的，10个为从丙厂转过来的。其它列的情况类似。故：p11=400/500=0.8，p12=50/500=0.1，p13=50/500=0.1；p21=20/400=0.05，p22=300/400=0.75，p23=80/400=0.2；p31=10/100=0.1，p32=10/100=0.1，p33=80/400=0.8； 3状态转移概率矩阵经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程（第11讲）其中pij具有以下特征：（行和为1）pij0，pi1+pi2+……+piN=1，i=1，2，……，N。它完全描述了所研究事物的变化过程。 经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程（第11讲）4n步转移概率和n步转移概率矩阵设从状态i经过n步（n>1）达到状态j的概率为pij(n)，即：pij(n)=Prob{Xm+n=j|Xm=i}相应的矩阵为称为n步转移概率矩阵，记为P(n) 例5概率矩阵的计算经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程（第11讲）设某系统有3种状态E1、E2、E3。其转移情况如下：求其一步、二步转移概率矩阵。状态状态E1E24721E1本步合计E2E3714421681236108下步合计23220E32898本步状态次数系统下步所处状态 经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程（第11讲）解：由无后效性，显然即： 经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程（第11讲）一般地，有即并且pij(n)也满足： 5状态概率与状态概率向量经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程用Si(t)表示第t个时期状态i出现的概率，即称向量为第t个时期的状态概率向量。第0个时期的状态概率Si(0)称为初始状态概率，S(0)称为初始状态概率向量。这样，由马尔可夫链的特性，有：一般地，有：下面讨论当t时，P(t)的变化趋势。 6遍历性与稳态概率经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程遍历性：是指不论从哪一种状态i出发，当转移步数n充分大时，来到状态j的概率都接近常数j，而与原来的状态i无关。即：设{Xt，t=1，2，}是齐次的马尔可夫链，如果对于每一种状态j，都存在常数j，使得对任何状态i，都有极限成立，则称马尔可夫链{Xt}具有遍历性。若{Xt}具有遍历性，即存在常数j使由得故称j为状态j的稳态概率。 如何求j呢？经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程即此外，由于由于两边取极限并注意到得：其中=[1，2，……，N]两边取极限得到综合知，由：可求得稳态概率。问题是：如何判断马尔可夫链{Xt}具有遍历性呢？ 经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程如果存在正整数h，使得对一切i，j都有：则{Xt}具有遍历性。满足以上条件的转移概率矩阵P称为标准概率矩阵（也称为正规随机矩阵）。 7马尔可夫链在预测中的应用条件经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程应用马尔可夫链方法进行预测，预测对象必须基本符合马尔可夫链的一些假设条件：（1）转移概率矩阵逐期保持不变；（2）状态转移仅受前一期的影响；（3）预测期间状态的个数保持不变。以市场占有率为例，必须假定预测期间市场竞争对手的数目保持不变，即既没有新的厂家打入市场，也没有一个企业停产。 经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程（二）马尔可夫链预测法1简单预测法按以下步骤来完成：第一步.划分预测对象所出现的状态。要从预测的目的出发，并考虑决策者的需要来划分现象所处的状态。第二步.计算初始概率，常用频率作为近似值。即，设有E1，E2，……，EN共N个状态，观察了M个时期，其中状态Ei共出现了Mi次，于是 经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程（二）马尔可夫链预测法第三步.计算初始概率其中Mij为从Mi个Ei出发，下一步转移到Ej的Ei状态个数。第四步.根据转移概率进行预测。若目前处于状态Ei，则pij就描述了Ei在将来将转向Ej的可能性，按最大可能性原则，选择{pi1，pi2，……，piN}中最大者为预测结果。 例6简单预测法预测计算例子经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程某商店在最近20个月的商品销售量统计如下（单位：千件）：时间t销售量时间t销售量4023456789101112131415161718192040458012011038150629011013014012055704580110120 经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程解：(1).以销售状况划分状态为：E1表示滞销（销售量<60千件）；E2表示一般（60千件销售量100千件）；E3表示畅销（销售量>100千件）。(2).计算初始概率按以上划分可知：M1=7，M2=5，M3=8时间t销售量时间t销售量4023456789101112131415161718192040458012011038150629011013014012055704580110120 经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程(3).计算状态转移概率矩阵此时，最后一个数据不参加计算，因为它究竟转到哪个状态尚不清楚。即：M1=7，M2=5，M3=7，而相应地，M11=3，M12=4，M13=0，M21=1，M22=1，M23=3，M31=2，M32=0，M33=5故 经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程（4）.预测第21个月的销售情况：由于第20个月属于“畅销状态E3”，而{p31，p32，p33}={2/7，0，5/7}。最大者为p33=5/7，故预测第21个月的销售状态是“畅销”。即销售量>100千件。 2市场占有率预测经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程根据马尔可夫链的性质：本期市场占有率仅取决于上期市场占有率及转移概率。则经过k个时期后，市场占有率为：设为初始市场占有率；P=[pij]NN为一步转移概率矩阵进一步地，若马尔可夫链具有遍历性（即存在正整数h>0使Ph>0，亦即P为标准矩阵），则稳定的市场平衡状态（即顾客的流动对市场占有率不起影响）的终极市场占有率为：预测步骤为：第一步：计算S(0)和P； 经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程第二步：由S(k)=S(0)Pk进行短期预测；第三步：计算由=[1，2，……，N]做长期稳态预测。例7已知市场上有A、B、C三种牌子的洗衣粉，上月的市场占有率分布为：[0.3，0.4，0.3]，且已知转移概率矩阵为：试求本月份的市场占有率。 经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程解：因为P为标准概率矩阵，所以存在=[1，2，3]使即 经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程由此得到：综合得到：本月市场占有率为下月市场占有率为稳态时的市场占有率为 经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程自我练习题目：市场占有率预测A、B两家毛巾厂的市场销售占有预测。由于毛巾是生活必需品，同时假定毛巾的平均使用期为6年，因此，每年两家毛巾厂的总销售量为常数，而引起两个厂家各自销量增减的主要原因是由于厂家的营销策略、产品质量造成的。市场需求调查见下表所示。时间A厂B厂销售量（万条）顾客销售量（万条）顾客老顾客（万人）原购B厂毛巾、现购A厂毛巾人数（万人）老顾客（万人）原购A厂毛巾、现购B厂毛巾人数（万人）19951996200217160178.54038.5300283280260.52012.5 3期望利润预测经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程在企业经营管理中，除了需要摸请销路状况的变化、市场占有率的变化外，还需要对利润的变化进行预测。设市场销售状况分为N种状态各状态转移概率矩阵P=[pij]NN为已知矩阵，并设状态转移利润矩阵R=[rij]NN也已知，其中rij表示由Ei转移到Ej的利润：rij>0表示盈利，rij<0表示亏本，rij=0表示盈亏平衡。所谓期望利润预测：就是根据已知的P和R对未来的利润进行预测。记Vi(n)表示现在所处状态为Ei，经过n步转移后的期望利润值，并规定Vi(0)=0，Vi(1)=qi又称为即时期望利润。 3期望利润预测经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程则由定义，有：………………………………………………………………… 例8期望利润预测计算经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程已知某企业产品的销售转移情况及利润转移情况如下：状态状态畅销E1滞销E20.4畅销E1滞销E20.60.30.7本步状态转移概率下步所处状态销售转移概率矩阵状态状态畅销E1滞销E2500畅销E1滞销E2100100-100本步状态利润下步所处状态销售转移导致的利润矩阵 经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程试求：（1）该企业即时利润；（2）三个月后该企业的期望利润。（1）即时利润为：即：当本月处于畅销时，下一个月可期望获得利润260万元；当本月处于滞销时，下一个月可期望获得利润-40万元（实际即为亏损40万元）。（2）当n=3时，有：解： 经济管理学院SchoolofEconomicsandManagement管理系统工程即：当本月处于畅销时，预计三个月后可期望获得利润402万元；当本月处于滞销时，预计三个月后可期望获得利润69万元。