系统预测5-马尔可夫预测

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1、4.6马尔可夫预测11、Markov过程状态与状态转换若对研究对象考虑一系列随机试验，其中每次试验的结果如果出现在有限个两两互斥的事件集E={E1,E2,…,En}中，且仅出现其中一个，则称事件Ei∈E为系统的状态。若事件Ei出现，则称系统处在状态Ei。状态是研究对象随机试验样本空间的一个划分，系统可能在不同状态之间相互转换。一、Markov预测原理2一、Markov预测原理Markov过程现实中有这样一类随机过程，在系统状态转移过程中，系统将来的状态只与现在的状态有关，而与过去的状态无关。这种性质叫做无后效性，符合这种性质的状态转移过程，叫作马尔可夫过程。时间和状态都离散的

2、一系列马尔可夫过程的整体又称为马尔可夫链。32、状态转移概率矩阵设系统共有N个状态，记作S1，S2，…，SN，则用状态向量［S1，S2，…,SN］T表示。设在tn-1时刻系统处在Si状态之下，tn时刻系统状态变为Sj，则称在第n次状态转移中，系统由状态Si转移到Sj，且这种状态转移的概率记为p{xn=Sj

3、xn-1=Si}pij(i,j=1,…,N；n=1,2,…)这里pij与n无关，只与i,j有关，即只与转移前后的状态有关，称为马尔可夫链的一步转移概率。一、Markov预测原理4例1：出租公司车站租、还车一步转移概率。还车机场风景区宾馆租车机场风景区宾馆0.80.20.

4、20.200.200.80.6一、Markov预测原理5一步转移概率矩阵如果系统有N个状态，则一步转移概率矩阵如下：一、Markov预测原理6概率矩阵的特点正规概率矩阵若概率矩阵P的m次幂Pm的所有元素皆为正，则该概率矩阵P称为正规概率矩阵。固定向量当任一非零向量u=(u1u2…un)乘以某n×n方阵A，其结果仍为u，即uA=u时，u为A的固定向量。一、Markov预测原理7正规概率矩阵的性质正规概率矩阵P有一个固定概率向量u，且u的元素皆为正，此向量叫做特征向量。正规概率矩阵P的各次幂序列P，P2，P3，…将趋向于方阵U，且U的每一行均为其固定概率向量u。若F为任一概率向量

5、，则向量序列FP，FP2，FP3，…将趋近于P的固定概率向量u。一、Markov预测原理8正规马尔可夫链及其稳定状态若某事物状态转移概率可以表达为正规概率矩阵，则该马尔可夫链就是正规的，通过若干步转移，最终会达到某种稳定状态，即其后再转移一次、二次、…，结果不再变化，这时稳定状态可用行向量X表示，可见该行向量X就是此正规概率转移矩阵的固定概率向量。一、Markov预测原理9固定概率向量的求解示例例2：设某事物从状态S1、S2、S3转移到状态S1、S2、S3的转移概率矩阵为正规概率矩阵P，一、Markov预测原理10稳态时的特征向量可求解如下：解此联立方程式得X=(0.4,0.

6、2,0.4)一、Markov预测原理11例3：已知一步转移概率矩阵如下，判断马尔可夫链是否正规，若正规求出其稳定状态。一、Markov预测原理12k步转移概率矩阵事物经过k步转移的转移概率记为p(Sn+k=j/Sn=i)=pij(k)，i,j=1,2,…,N,则如下矩阵即为k步转移概率矩阵一、Markov预测原理13可以证明：即k步转移概率矩阵为一步转移概率矩阵的k次幂。一、Markov预测原理14由定义可知：P（K）=P（K-1）P=P（K-2）P2=P（K-3）P3……=P（K-K+1）PK-1=PPK-1=PK即，K步转移概率矩阵就是一步转移概率矩阵的K次方。15应

7、用条件应用马尔柯夫预测法进行预测时，首先必须将研究的问题归纳成独立的状态；其次是要确定经过一个时期后，时间由一种状态转变为另一种状态的概率，并且这种概率必须满足下列条件：1.只与目前状态有关；2.与具体的时间周期无关；3.预测期间，状态的个数必须保持不变。16步骤如果研究的问题符合上述条件，则构成一阶马尔柯夫链，并可以据此建立预测模型，进行预测。具体步骤如下：第一步，确定系统的状态；第二步，确定转移概率矩阵；第三步，进行预测。17例4某公司将最近20个月的商品销售额统计如下，试预测第21个月的商品销售额。二、商品销售额预测18表1各月商品销售额单位：万元月数12345678销

8、售额404580120110384050月数910111213141516销售额62901101301401205570月数17181920销售额458011012019解：划分状态。按销售额多少作为划分状态的标准。状态1——滞销：销售额60万元；状态2——平销：60万元销售额100万元；状态3——畅销：销售额100万元。20则各状态出现的次数Mi为：M1=7；M2=5；M3=8。根据统计数据计算比例数，建立状态转移概率矩阵。21由状态i转移为状态j的次数记为Mij，则有：M11=3；M12=4