布朗运动及随机分析

《布朗运动及随机分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、布布布朗朗朗运运运动动动及及及随随随机机机分分分析析析张骅月南开大学经济学院金融系基本定义马氏性与反射原则鞅与首中时离散时间的期权定价BS公式Background布朗运动（Brownianmotion简写为BM）一类具有连续时间与连续轨道的最基本，最简单同时又是重要的的随机过程。数学上，他是三类随即过程的交叉：它是一个高斯过程，具有连续轨道的Markov过程，独立增量过程。从实践角度考虑，BM经常被用作物理，生物，管理科学及经济现象的模拟。基基基本本本定定定义义义:一、随机过程fB(t);t0g称为BM或Wiener过程，若：1.B(

2、0)=02.B(t)为平稳独立增量过程3.对任意的t>0;B(t)N(0;2t)4.t!B(t)是连续的如果B(t)N(t;2t)，则称B(t)为有漂移的BM，为漂移参数。对于BMB(t)，如果2=1，称为标准BM。如果2,1;B(t)是标准BM运动。BM是Gauss过程，均值函数为0，协方差函数C(s;t)=EB(s)B(t)=2min(s;t)，而且它还是Markov过程。二、随机过程fB(t);t0g称为BM,若:1.B(0)=02.B(t)为独立增量过程3.对任意的t>s>0;B(t)B(s)N(0;2(ts)

3、)4.t!B(t)是连续的定定定理理理：定义一,定义二注意：在上述两个定义中，我们强调B(0)=0，但是，事实上，BM可以从任何一点开始，即Bx(t)表示起始于x点的BM。由于BM具有空间齐次性的特点(即有限维分布是空间平移不变的)，所以我们只需要研究开始于0点的BM。作为一物理现象，BM由英国植物学家Brown于1827年发现。著名物理学家Einstein在1905年首次从物理的角度给出BM的一个解释。设B(t)表示一个粒子在BM中x方向的位移，由于BM的转移是平稳的，不依赖于起始时刻，故不妨假设初始时刻的位置为x0，即X(0)=x0，p(x;t

4、jx0)表示在X(0)=x0的条件下X(t)的条件概率密度，Einstein从物理的原理证明p(x;tjx0)满足一个扩散方程@p@2p=D@t@x2在一般条件下上方程的唯一解为112p(x;tjx0)=pexpf(xx0)g2(2D)t(2D)2tWiener在他1918年博士论文中以及后续文章中给出BM的精确数学描述，并进一步研究了BM的轨道性质。以下不特别指明所说的BM是指标准的BM，即2=1。定定定理理理：设B(t)是标准BM，任给定n个时刻0

5、B(t2);


;B(tn))的联合分布密度，则ft1t2


tn(x1;x2


xn)=pt1(x1)pt2t1(x2x1)


ptntn1(xnxn1)x21其中pt(x)=pe2t:由上述定理，我们知道BM的联合分布为n维正2t态分布，所以BM为正态过程(随机过程fX(t);t2Tg;若对任意的ti2T;i=1;2;:::;n;X(t1);X(t2);:::;X(tn)的联合分布为n维正态分布，则称fX(t);t2Tg为正态过程)，并有：定定定理理理：设fB(t);t0g是正态过程，轨道连续，B(0)=0;8s;t>

6、0;有EB(t)=0;E[B(t)B(s)=t^s];则fB(t);t0g是BM，反之亦然。由此定理我们得到判断一个正态过程是否为BM的充要条件。从而我们能得出一系列很有用的结论。定定定理理理：设fB(t);t0g是标准BM，则：1.B1(t)=B(t);t0(对称)2.（逆时间）8>>>>>>tB(1=t);t>0>>>>>>>:0;t=03.B(t)=cB(t=c2),任意固定的c>0;(刻度不变)34.B4(t)=B(t+h)B(t);任意固定的h>0;(平移不变)仍然是标准BM.定定定义义义：(B1(t);


;

7、Bn(t))被称作标准的n维BM，如果B1(t);


;Bn(t)都是独立的标准一维BM(2=1).BM的的的性性性质质质性质1：BM的几乎每条样本轨道是连续的，对几乎每条样本轨道上的任意一点，其导数都不存在；而且在任何区间上都不是单调的，但是无限变差的；对于任何t;BMB(t)在[0;t]上的二次变差等于t.6.2BM的的的鞅鞅鞅性性性定理：设fB(t);t0g为BM，则1.fB(t);t0g;2.fB2(t)t;t0g;B(t)12t3.fe2;t0g;都是鞅。(判断3是否为一致可积鞅)注意：2是BM的一个典型特征，即如果连

8、续鞅fX(t)g使得fX2(t)tg也是鞅，则fX(t)g是BM.另外，若一初值为0的鞅，有连续路径且满足在任何时刻t的