分数布朗运动的小波分析

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1、第卷第期武汉测绘科技大学学报一年月分数布朗运动的小波分析王桥胡毓柜武汉测绘科技大学图土信息与地图科学系,武汉市格响路号,。。。,,并将结果摘要给出了分数布朗运动的连续和离散小波分析讨论了有关的性质用于分维估、值分数布朗运动小波变换系数的相关性研究等方面关键词分数布朗,,运动分维数小波分析随机过程分类号,胳,,十,本文所依据的小波分析理论的主要结果是对于的全体二进区间〔,任,,多所组成的集合了存在小波函数抓且具有足够强的光滑性它本身与它的导数在无穷远处速降甚,至可要求它本身有紧支集具有高阶的消失矩其变换集中在原点,,‘。,附近使得咖幼一边袱一

2、即由功进行平移与展缩所得到的函数系咖,构成尸器,,的一组完备的正交基小波基它是大多数已知的空间口,空间·,,,,空间七空间匆,记卜空间冲尹等的无条。,,,。件基对这组正交基物不仅可以进行频谱分析逐项微分与积分还可以进行局部分析分数布朗运动分数布朗运动是一个零均值的非平稳高斯随机函数·‘·“一‘‘‘·〔卜,“,,〕,、一‘二二一乙一一,,,。其中‘是通常的布朗运动万’是函数易知,的自相关函数为,,一。,。’’〔卜一一,一。式中万厅万,。,,从式可以知道不是一个平稳过程但是的增量是一个平稳过程即对任何,尺度参数和时间。,。,,一表示等分布的最本

3、质的特征是它构成的图形具有统计意义上的自相似性。其分维值刀可由下式确定刀一。二万,二。式中是拓扑维数收稿一。一王桥,,,,,现从事数学制图与计算机制图研究日期男岁博士生副教授第期王桥等分数布朗运动的小波分析的连续小波分析,。,。根据引言中的结果对于给定的尺度可以得出分数布朗运动的连续小波变换碑加尸”,一、二”、‘、、乙一少二二二打刀,、又少月,甲户犷一伪—,是,‘其中一分析小波其变换满足。一。,一。,。一瞥,。伴,。。式表示了在函数的不同尺度和平移上的投影,,。下面考察的自相关函数,,,一,,,,,是给定的尺度,注意到由式可得出广的产,““

4、‘“,‘”“少气“乙’”儿“’‘““‘」一云,一其中儿了一一“一了少,,,。。。,。,。,从式看到是与的函数只与一有关也即只与时间间隔有关所以在,,,。尺度一定的情况下几是平稳过程这是分数布朗运动的连续小波变换的一个重要性,。质它提供了一条将非平稳过程的分数布朗运动转化为平稳过程进行研究的途径。。,利用式还可进行分维估值当一时·,‘,‘·。·。,儿,,一卜一丁仁狱,一。。一。,的一‘‘“一““一‘了似丁咤,,」一,··,此时一卜一,”,,‘”,‘”‘是常数设其为一贝‘有丁士二丁士二一,,“‘式中两边取对数。,,‘,,,‘。‘,,‘,。在不同

5、尺度下计算可以得到点对再根据式进行最小,,,。二乘拟合即可得到值从而根据式得到分维值的离散小波分析,甲〔户助,尹设叻是丫个正交的多尺度分析且满足双尺度差分方程,‘,‘一。名·,,‘‘,‘。令功‘一一卜,‘一‘一一功一一习。,任,,二〔弓可以证明人构成口助的标准正交基,,,当序列有限时相应的小波袱具有有限支集此时袱至少存在一阶消失矩即武汉测绘科技大学学报年加’‘‘,,,”‘,”功一”,一」、由甲功及序列仇的上述性质可以得出,,甲‘。,,‘,,,,,因一,任①印护一二任,。,这样可计算出于尺度的离散小波变换系数,·’‘,,,一“,“’“叻一二士

6、二一及其多尺度逼近的广义系数,,刀,,“,“’‘,‘“,‘‘一‘“一,一“刀‘甲“一,甲,,,,,由于对于任意有限整数‘一二功一,界是乙席的正交基所以召,可以写成,‘,,,,,,,,,‘一,。一,“一,。,护习习习一,,‘,,。,‘一式即给出了分数布朗运动,的多分辨分解对于固定的丈名,,,,。,,‘‘。的细节而‘,,护“一,则是。的直到尺度的近即是凡的尺度为习似。。,。下面讨论有关性质首先证明二是一个平稳过程,,,,,设训是具有紧支集〔一」和万阶消失矩的正交小波,的自相关函数为,,,刀吞,,,,‘几仍‘‘,二,‘刀功一仍功一一。一二行丝下‘

7、‘’一,‘二票姿而一一一一,一一一,,’一气一、一,‘。,二一,一,,”‘“‘才一二“犷一石不不丁厄‘乙十艺厂一仍劝吸一一功吸乙‘,,,,,。、由于袱具有紧支集且所以凡卜,对于一切和妻以及都是有。,,,,,,限的注意到对于固定的尺度例如一凡是一的函数故以,对固定的是一个平稳过程。‘,,,。下面考察母小波功对凡,的影响为此我们定义一个函数,‘,‘··,一一,,丁一,,无、,利用式可以写成一凡,二,,一,一’,一二注,一‘‘丁。‘,一·,‘,···由于坛一‘,,“,,,‘一介叮一,一’·’‘·,“,‘,一‘一‘”“,“’‘”琴了一仍,,一‘,所

8、以如果袱具有阶消失矩那么就有万阶消失矩且如果护具有紧支集,一‘。那么也具有紧支集第期王桥等分数布朗运动的小波分析·,·。,,现考虑积分了‘,‘‘为参数可以证明如果,‘具有。阶消失