广义混合分数布朗运动

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1、数学杂志Vo1．35(2015)J．ofMath．(PRC)No．2广义混合分数布朗运动夏雨荷，胡宏昌(湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石435002)摘要：本文研究了由多个分数布朗运动组合而成的广义混合分数布朗运动的性质．利用分数布朗运动的基本性质，获得了广义分数布朗运动的混合自相似性、马氏性、增量问的相关性、HSlder连续性和一可微性，推广了关于混合分数布朗运动的相应结论．关键词：广义混合分数布朗运动；H51der连续；一可微MR(2010)主题分类号：60G20中图分类号：O211．6文献标识码：A文章编号

2、：0255。7797(2015)02．0381—081引言定义1．1[]设W日={)为定义在概率空问(Q，F，P)上的带有分形指数日的分数布朗运动(fractionalBrownianmotion)，且其为连续的高斯过程，其性质如下：(1)=0a．S．P；(2)E=0，E=互1(日+s日一Is—tlH)，s，t0；(3)日具有平稳增量且为自相似过程，其轨道为几乎处处连续且不可微的．定义1．2定义在概率空间(Q，F，P)上的随机过程yH={a，a2，⋯，am)；t0}：{日；t0}称为参数为01，z，⋯，0和H=(H，

3、／／2，⋯，)的广义混合分数布朗运动(以下简称GMFBM)，若Vt∈+，定义日：n1+02+⋯+0，(1．1)其中()R+是带有分形指数，i=1，2，⋯，Tn的相互独立的标准分数布朗运动．注1．3当m=2时，定义1．2中的GMFBM就为混合分数布朗运动(见文献『4])．文献[2，3]研究了布朗运动与分数布朗运动组合的模型的一系列性质，文献[4]研究了两个分数布朗运动组合时的各种性质．刘韶跃、Elliot等在文献『7，8]中分别给出了分数布朗运动环境下欧式未定权益的定价公式，并推出了一些相关欧式期权的定价公式．文献『9

4、]在此基础上讨论了资产受多个分数布朗运动影响的两类欧式幂期权定价问题，其中风险证券价格s(t)满足下式：mdS(t)=s(t)[((t)一())+d>：ai]，(1．2)t=1其中为定义在概率空间(Q，F，P)上的参数为凰的分数布朗运动，()，()，at分别为标的资产的瞬时收益率、红利率、波动率．但该文没有研究GMFBMf1．1)的性质f其他文章收稿日期：2013．10—14接收日期：2013—11—29基金项目：国家自然科学基金(11471105)；湖北省教育厅青年项目(Q20122203；Q2o1222o2)．作

5、者简介：夏雨荷(1992)，女，湖北随州，硕士，主要研究方向：随机过程的统计推断及其应用382数学杂志Vo1．35有它的各种性质)，本文将讨论GMFBM的一些性质，它们是混合分数布朗运动相应性质的推广．2基本性质本小节将讨论GMFBM的基本性质．定理2·1GMFBM(日a1，02，⋯，0))满足下列性质：．(1)yH是中心高斯过程：⋯‘(2)对任意t∈+，E((日))=∑a2．2H~；=1(3)对任意t∈+，coV(H，_H)=互1∑a~(Itl+Is』。巩一it—sJ日t)；(4)日的增量是平稳的．该结论的证明类似

6、于文献[4】中引理2．1的证明，在此略去．定理2．2GMFBM((。1，。2，⋯，。))∈豫+满足混合自相似性，即对任意>0，有{(n，。，⋯。m))=A{hH~,0,2，⋯。日m))(2．1)证因为y是中心高斯过程，故只需证{(。，。。，⋯口))与{(alh，a2，．．·n‰))有相同的协方差函数．由定理2．1得c。V(v／／(。。。)，理(口·。))=E(璐(。．．丢。l圳th—s1／’0)瑶al⋯am)1==mz+jsJ。_sl)：E(alh，⋯m日)alh，⋯。日m))=c。V((。。，⋯nh2H~)，alH

7、1，⋯。日m))(2．2)定理(，0．、，2学V(。，。2⋯。m)∈，(。，。2⋯nm)≠(0，0，⋯0)与日：(研，⋯)∈，，‘n。?是氏过程除非(日1，，⋯Hm)：(，，⋯{)．证如果y日是马氏过程，则l对任意的8

8、+t2凰。日t)(2．5)令s=1／2，t=1，=3／2，代入既得Coy(％，)Coy(，)=Coy(嘞，)Coy(，嘞)，等价于巩20．；+ni+1-(一]=(1—42Hi／3＼2巩／一1＼2日兮2+-11=(m∑础_1)2⋯m3+32凰一3．22Ht：0，i：1，2⋯m可以看出对所有的(H1，，⋯日m)≠(j，i1，⋯互1)3+3。一3．2