从极限教学到分数布朗运动模型中广义积分的逼近法

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1、从极限教学到分数布朗运动模型中广义积分的逼近法【摘要】极限理论描述了目标函数在自变量无限变化过程中的变化趋势，它是近代数学思想和力*法的基础。极限理论教学是高等数学教学的重要环节，是微积分屮几乎所有理论的基础，也是学习高等数学等大学数学科目的基础。学习极限概念是高等数学教学中遇到的第一个较难理解的概念，正确理解和掌握极限的概念和思想方法也是高等数学教学中的i点和难点。本文介绍了高等数学极限教学的几个注意点以及计算极限的几种主要方法，对学生理解极限理论提供一些思维上的引导。本文通过极限思想在分形屮应用的介绍，从感性认识上提高学生学习极限理论的兴趣。通过分数布朗运动模型的建立

2、和改进，以带有无穷限的广义积分用分步离散的逼近方法，通过对核函数的转换，分数布朗运动模型的模拟结果可以得到改善。最后对记忆长度的确定和粒子数的确定也作了研究，研究表明：当记忆是吋间步长的10倍，而粒子数不小于1000吋，可以得到较理想的模拟。本文所用到的极限近似逼近方法，对极限的近似计算具宥启发性指导，创新数学极限理论的教学。【关键词】极限数学教学分形分数布朗运动广义积分中图分类号：G712文献标识码：A一、极限思想及其教学1.极限学习意义的认识极限理论是高等数学的核心思想，也是这一课程的重点与难点。后续课程中的微分积分都是围绕极限这一概念展开的，因此对极限思想的深刻理解

3、是学好高等数学的前提。极限是数学由具体到抽象、从常量到变量、从有限到无限、从初等数学过渡到高等数学的关键。微积分的思想之所以相当严密,是因为借助了极限的思想。而对子极限概念的理解，直接关系到高等数学的学习效果。凡是高等数学没学好的学生，大多因为是对极限概念理解得不深、不透，从而难以理解后续知识中的一些重要概念。如同“只见树木不见森林”，缺乏对微积分这一学科的宏观、整体的认识，从而对高等数学的学习提不起兴趣，甚至产生厌学情绪。牛顿、莱布尼兹创建的微积分理论屮，极限理论是其屮最伟大的思想。因为极限思想的复杂程度远远大于中学数学的范畴，因此对于初步接触高等数学的大学生来说，难免

4、会有畏难情绪，这时需要教师循序渐进地、由形象到抽象地把学生的思维引导到极限概念屮来，任何的急于求成都会事倍功半。此前虽然冇很多关于极限教学的研宄文章（如[1],[2],[3]）,但多数文章侧重子介绍极限理论的发展史或者学习极限的重耍性，而对极限教学的具体方法研宄较少。本文基于作者多年的高等数学教学实践，梳理出极限教学中一些容易忽视的环节和需要重点关注的地方，以供参考。为进一步理解极限理论，本文用分形中的分数布朗运动作为极限应用的实例，剖析无穷限广义积分简化为分步和式的过程，从而加深对极限理论的理解。1.极限思想的导入和阐释初步接触极限概念，微积分的起源和历史故事可以引起学

5、生的兴趣，尤其是欧拉的传奇故事会给数学涂上传奇的色彩。用通俗的语言指出高等数学和初等数学的区别和联系，简单介绍微积分的“分割、近似、求和、求极限”的思想，指出这种思想可以解决任何不规则、不均匀的实际问题，以引起学生学习微积分的兴趣。极限思想是一个全新的概念，学生在理解极限的s--N定义时，需要不断和实际例子相比较，以理解其真正含义。在介绍极限概念时，可以借鉴国外的极限理论引进时所用的方法［5］，即用列表的形式感官从两边趋近极限值的过程。［4］,继而再过渡到抽象的e--N（或）定义。另外，东汉刘徽的割圆术求圆面积以及庄子的截杖问题都是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应

6、用，通过这两个例子来介绍极限思想，形象而具体，学生很容易理解。极限概念引入时从个例的描述性定义到定量的转化，是极限教学的关键。首先要举出几个无穷数列的例子，让学生观察数列随n变化的规律。然后引导学生总结出e—N的定义。要指出，证明极限的过程，其实也是找一个正整数N的过程。使得当时，。因此，。需要特别强调的是e可以是任意小的一个正数，不管e有多小，哪怕是一亿分之一或更小，总会找到某个足够人的自然数N，满足（3）。N是随£的变化而变化的。但N不是e的函数，N不是唯一的。在介绍函数极限时，需要先讲无穷极限再讲。因为从数列极限过渡到无穷极限很好理解。在证明时，一定要强调在放大不等

7、式时，保留这一个因子。二、极限求解的几种基木方法在学习了极限定义和证明方法后，就是如何求?0限。高等数学中求极限的方法有好几种。除了基木的连续函数的代入法（substitution）、因式分解并去零因子法（factoring）、共辄法去根号（conjugate）、抓大头法（）等方法外，还有以下几种重要的方法。1.用极限收敛准则求极限单调有界准则和夹逼准则是针对一些较难求极限的数列而用的方法。有一般项的表达形式时，可用此递推公式，两边求极限，找到极限值。在证明数列单调性时，可以用两种基本的方法：一是数学归纳法，二是求导数方法（导