广义积分的判别法.ppt

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1、一元函数积分学张艳霞二、无界函数反常积分的审敛法第一讲反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分一、无穷限反常积分的审敛法反常积分的审敛法函数定义1.设若存在,则称此极限为f(x)的无穷限广义积分,记作这时称广义积分收敛;如果上述极限不存在,就称广义积分发散.一、无穷限广义积分注：f(x)非负，上述积分几何意义是开口曲边梯形的面积引入记号则有类似N–L公式的计算表达式:2.无穷限广义积分的计算一、无穷限反常积分的审敛法定理1.若函数证:根据极限收敛准则知存在,定理2.(比较审敛原理)且对充,则证:不失一般性,因此单调递增有上界函数,说明:已知得下列比较审敛法.极限存

2、在,定理3.(比较审敛法1)例1.判别反常积分解:的敛散性.机动目录上页下页返回结束由比较审敛法1可知原积分收敛.思考题:讨论反常积分的敛散性.提示:当x≥1时,利用可知原积分发散.定理4.(极限审敛法1)机动目录上页下页返回结束则有:1)当2)当证:根据极限定义,对取定的当x充分大时,必有,即满足当机动目录上页下页返回结束可取必有即注意:此极限的大小刻画了例2.判别反常积分的敛散性.解:机动目录上页下页返回结束根据极限审敛法1,该积分收敛.例3.判别反常积分的敛散性.解:根据极限审敛法1,该积分发散.定理5.机动目录上页下页返回结束证：则而定义.设反常积分机动目录上

3、页下页返回结束则称绝对收敛;则称条件收敛.例4.判断反常积分的敛散性.解:根据比较审敛原理知故由定理5知所给积分收敛(绝对收敛).(2013)无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分.二、无界函数反常积分的审敛法机动目录上页下页返回结束由定义例如因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来.定理6.(比较审敛法2)定理3目录上页下页返回结束瑕点,有有利用有类似定理3与定理4的如下审敛法.使对一切充分接近a的x(x>a).定理7.(极限审敛法2)定理4目录上页下页返回结束则有:1)当2)当例5.判别反常积分解:利用洛必达法则得根据极限审敛法2,所给积分

4、发散.例6.判定椭圆积分定理4目录上页下页返回结束散性.解:由于的敛根据极限审敛法2,椭圆积分收敛.类似定理5,有下列结论:机动目录上页下页返回结束称为绝对收敛.则反常积分三、函数1.定义机动目录上页下页返回结束下面证明这个特殊函数在内收敛.令机动目录上页下页返回结束综上所述,2.性质(1)递推公式机动目录上页下页返回结束证:(分部积分)注意到:(2)得应用中常见的积分这表明左端的积分可用函数来计算.例如,例.(2014)(2010)(2012)