混合分数布朗运动环境下短期利率服从vasicek模型的欧式期权定价

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1、数学杂志Vo1．36(2016)J．ofMath．(PRC)No．3混合分数布朗运动环境下短期利率服从vasicek模型的欧式期权定价李志广，康淑瑰(山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009)摘要：本文研究了混合分数布朗运动环境下欧式期权定价问题．运用混合分数布朗运动的Ito公式，得到了Black—Scholes偏微分方程．同时，通过求解Black—Scholes方程，得到了欧式看涨、看跌期权的定价公式。推广了Black—Scholes模型有关欧式期权定价的结论．关键词：期权定价；vasicek模型；Black—Scholes模型；混合分数布

2、朗运动MR(20101主题分类号：90A06；60H10中图分类号：O211．63文献标识码：A文章编号：0255—7797(2016)03—0641—081引言期权定价理论的重要进展开始于Black和Scholes的两篇文献，在该文中Black和Scholes首次引入一种由几何布朗运动驱动的连续时间模型，通过自融资策略和风险资产、无风险资产的复制方法，Black和Scholes认为在无套利情形下期权的价格等于投资组合的价格．近些年来，用分数布朗运动代替标准布朗运动研究金融模型已经成为了一个重要的发展方向，分数布朗运动的“尖峰厚尾”特性和长程记忆性此外它仍

3、然是高斯分布能够更好的描述金融资产模型．有关分数布朗运动的随机分析理论见文献『2，31．有关分数布朗运动在金融经济中应用的文献也已经出现，具体可见文献f4—61．遗憾的是，上述文献在研究期权定价理论都假设无风险资产的利率或者说短期利率在期权的整个存续期内都是常数，这显然是不符合实际的，Kung和Lee就在这方面做了改进，他们假定短期利率服从Merton模型，股票价格模型仍然是由标准的几何布朗运动驱动的模型，在该模型下Kung和Lee研究了欧式期权，具体见文献『7]．基于此，本文也研究短期利率非常数情形下的期权定价理论，相比文献f71，我们用更一般的Vasi

4、cek利率模型代替Merton模型，除此之外我们还假定利率模型和股票价格模型均由更符合实际情况的混合分数布朗运动取代通常的白噪声．本文的结构安排如下：在第二节，给出了所研究的模型；第三节给出了短期利率为vasicek模型下零息票的价格公式；第四节研究欧式看涨、看跌期权；第五节为本文的结论．2金融市场模型收稿日期：2013—03—11接收日期：2013—09—06基金项目：国家自然科学基金资助项目f11271235)．作者简介：李志广(1979一)，男，河北阳原，硕士，讲师，主要研究方向：金融数学，期权定价数学杂志首先假设(，，)为给定的完备概率空间，设0<

5、H<1，具有Hurst参数为日的分数布朗运动是一连续高斯过程{()，t0)使得wt~(o)=0，[()]=0，并且[，Ⅳ()(s)]=去(＼t日+s。日一『t—sl丑／)，s，t∈R+，当H=1／2时，(t)即为标准布朗运动．笔者将考虑由混合分数布朗运动(mixedfractionalBrownianmotion)驱动的金融市场，主要研究随机利率下欧式看涨期权定价问题，所谓混合分数布朗运动就是两个独立分数布朗运动的线性组合．x(t)=(TWH】(t)+E2(t)，t0，WH()，WH(t)分别是参数为日1和的两个独立的分数布朗运动．在叙述模型之前，先说明用

6、混合分数布朗运动取代分数布朗运动是有意义的：Bender等人[1o]已经证明随机源的个数不少于风险资产个数时，自融资策略中是无套利的，并说明欧式期权均存在这样一个自融资策略将其进行套期保值[11,12]．而接下来要给出的模型股票价格和零息票都是随机的，因此如果市场模型仅仅由单个分数布朗运动驱动会有套利产生，显然市场也就不再是完备的．首先，假定金融市场的短期利率服从如下的Vasicek模型drt=(一rt)dt+I~dWH(t)+2~dWH(t)，(2．1)厂其中最后的积分／．◇d(t)，i=1，2为分数Wick—Ito积分，具体见文献【4，5，6]，n为短

7、期利率，是均值恢复率，为长期利率，和2决定了Vasicek利率的波动强度，(t)和。(t)为两个参数分别为日1和的分数布朗运动．其次，假定金融市场上只有一个股票和一个零息票．令B(t，)表示零息票的价格，并假定它满足如下的随机微分方程dB(t，7"t)=rtBtdt+O-blB(t，rt)~dWg+(7b2B(t，rt)OdWH2，／0B(T，rT)=1，totT．再次，股票价格模型满足如下混合分数布朗运动驱动的模型dSt=#Stdt+(71St◇d(t)+(72◇dH。()，其中为股票的期望收益率，它是时间的函数，常数和2为股票价格的波动率．最后给出混合

8、分数布朗运动的Ito公式，它在以后的推导中经常用到．引理2．1[1