分数布朗运动驱动的随机微分系统若干问题的研究

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1、学校代号：10255学号：1152091分分分数数数布布布朗朗朗运运运动动动驱驱驱动动动的的的随随随机机机微微微分分分系系系统统统若若若干干干问问问题题题的的的研研研究究究SomeissuesonstochasticdifferentialsystemsdrivenbyfractionalBrownianmotion学科专业：控制科学与工程研究方向：控制科学中数学理论与方法作者姓名：韩婧琦学号：1152091指导教师：闫理坦教授完成日期：2018年4月东华大学博士学位论文东华大学学位论文原创性声明本

2、人郑重声明：我恪守学术道德,崇尚严谨学风．所呈交的学位论文,是本人在导师的指导下,独立进行研究工作所取得的成果.除文中已明确注明和引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品及成果的内容.论文为本人亲自撰写,我对所写的内容负责,并完全意识到本声明的法律结果由本人承担.学位论文作者签名：日期：年月日I东华大学博士学位论文东华大学学位论文版权使用授权书学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定,同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版,允许论文被查阅或借

3、阅.本人授权东华大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文．保密□,在5年解密后适用本版权书.本学位论文属于不保密□.学位论文作者签名：指导教师签名：日期：年月日日期：年月日II东华大学博士学位论文分分分数数数布布布朗朗朗运运运动动动驱驱驱动动动的的的随随随机机机微微微分分分系系系统统统若若若干干干问问问题题题的的的研研研究究究摘要作为布朗运动推广的分数布朗运动由于其存在记忆性、自相似性等,目前在金融,通讯,控制科学等领域有着广

4、泛应用.但它既非半鞅,也非马氏过程(布朗运动情形除外),不能利用经典的Itoˆ随机分析理论来研究它,因此在研究分数布朗运动驱动的随机系统时,重点需要考虑如何恰当地定义随机积分.本学位论文旨在研究分数布朗运动驱动的几类“时间分数”的随机微分系统的定性理论问题,包括解的存在唯一性、??-理论以及可控性,作为相关问题我们也考虑了与分数布朗运动相关的两类线性过程的最小二乘估计问题.本学位论文的主要工作和创新点如下:1.考虑了如下的时间分数泛函微分方程:⎧⎪⎨??????(?)=?(??)+?(??)?(?)

5、,?∈(0,?],???⎪⎩?(?)=?(?),?∈[−?,0],其中??是Hurst指数为?∈(1,1)的一维分数布朗运动,?∨(2−2?)<2?<1,???是Caputo导数并且??∈??=?([−?,0],R),??(?)=?(?+?),?∈?[−?,0].这里考虑的是分数布朗运动的轨道型积分,我们证明了该时间分数微分方程全局解的存在唯一性,并且建立了解对于初值的依赖性.2.研究了无穷维分数布朗运动驱动的如下时间分数随机热方程:∑︁∞∫︁????(?,?)=△?(?,?)+?(?)+????(

6、?(?,?))???,???0?=1其中?,?∈(0,1),?

7、)???(?),?∈(0,?],⎪⎩?(?)=?(?),?∈(−∞,0],这里??是Hurst指数为?∈(1,1)的Hilbert空间?-值的分数布朗运动,2???是?∈(1−?,1)阶的Caputo分数导数,?是Hilbert空间?到Hilbert空间?的有界线性算子,时间推移??属于相空间Bℎ,而?(·)是一个给定的?2([0,?],?)中的控制函数.利用随机分析的技巧,在合适的系数条件下,我们证明了方程的渐近可控性．4.作为相关问题,使用最小二乘法我们也讨论了与分数布朗运动有关的线性随机方程的

8、参数估计问题.一方面,对于?-赋权分数桥,我们建立了参数?的最小二乘估计量?̂︀并针对?的不同取值研究了估计量?̂︀的渐近性质.另一方面,我们也考虑了带时滞的分数Ornstein-Uhlenbeck过程??(?)=−??(?−1)??+???(?),?≥0,这里??是一个Hurst指数为?>1的一维分数布朗运动,初值?(?)=2???0(?),?∈[−1,0]是一给定的独立于?的随机过程,且0