数值分析教教案14

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1、3.3.2欧拉格式的MATLAB实现Euler方法的迭代格式为兀+1=兀+滋(“为)九=歹⑷(心0入…)Euler公式的MATLAB实现functionE=EuIer_1(fun,xO,yO,xN,N)%Euler向前公式,其中,%fun为一阶微分方程的函数%xO,yO为初始条件；%xN为取值范围的一个端点；%h为区间步长；%N为区间的个数；%x为Xn构成的向量；%y为Yn构成的向量；x二zeros(1,N+1);y二zeros(1,N+1);x⑴二xO;y⑴二yO;h二(xN-xO)/N;fornh:Nx(n+1)二x(n)+h;y(n+1)=y(n)+h*f

2、evaI(fun,x(n),y(n));endT二［xjyj【例3-5】用程序求解初值问题：,2x

3、式欧拉格式y（兀+1）—y（兀）设改用向后差商h替代方程y（兀+i）=g（兀+i，y（xi+l））中的导数项y'（兀+1）,再离散化，即可导出下列格式兀+1=为+hg（兀+1,兀+1）,i=0,1,2,…（3-9）这一格式与欧拉格式有着本质的区别：欧拉格式（3-7）是关于％的—个直接的计算公式，这类格式称作是显式的；而格式（3-9）的右端含有未知的兀+1,它实际上是个关于兀+1的函数方程，这类格式称作是隐式的。隐式格式的计算远比显式格式困难。由于数值微分的向前差商公式与向后差商公式具有同等的精度，可以预料，隐式欧拉格式（3-9）与显示欧拉格式（3-刀的精度相当，

4、都是—阶方法。3.3.3隐式欧拉格式的MATLAB实现向后Euler法与Euler法形式上相似，但实现计算时却复杂得多。Euler公式是显式的，可直接求解。向后Euler公式（3-9）右端含有兀+1,因此是隐式公式，一般要用迭代法求解，迭代公式通式为<卄+：=%+滋(兀,兀)、y^}=%+hg(兀+1,此))(k=0,1,2,…)向后Euler公式的MATLAB实现fundionE2二EuIer_2(fun,xO,yO,xN,N)%Euler向后公式,其中，%fun为一阶微分方程的函数%xO,y0为初始条件；%xN为取值范围的一个端点；%h为区间步长；%N为区间

5、的个数；%x为Xn构成的向量；%y为Yn构成的向量；x二zeros(1,N+1);y=zeros(1,N+1);x⑴二xO;y⑴二y0;h二(xN-xO)/N;forn=1:N%用迭代法求y(n+1)x(n+1)二x(n)+h;zO=y(n)+h*fevaI(fun,x(n),y(n));fork=1:3z仁y(n)+h*fevaI(fun,x(n+1),zO);ifabs(z1~z0)<1e~3endzO=z1;endy(n+1)=z1;endT=[xl,y,]【例3-6】用程序求解初值问题:y(o)=1(OKI)的近似解并与精确值比较。解：建立一个M-文件，

6、其内容为:functionz二f(x,y)z—y；取迭代次数为10。在MATLAB运行窗口中输入:»Euler_2('f',0,1,1,10)输出结果为：T二01.00000.10000.90910.20000.82640.30000.75120.40000.68280.50000.62070.60000.56420.70000.51290.80000.46620.90000.42381.00000.3852程序计算的近似值为T二0.3852,而精确值为丁二幺fu0.3679误差较大。梯形公式（下一算法）与向后Euler公式相比较，梯形公式的算法精度较高。3.3

7、.4两步欧拉格式为了改善精度，我们改用中心差商2h替代方程y'（兀）Qg（兀』（兀））中的导数项，再离散化，即可得出下列格式开+1=兀_1+2处（兀，兀）(3-10)无论是显示欧拉格式（3-7）还是隐式欧拉格式（3-9）,它们都是单步法，其特点是计算兀+1时只用到前一步的信息Ft；然而格式（3-10）除了X以外，还包含更前一步的信息X-1,即调用了前面的两步的信息，两步欧拉格式因此得名。两步欧拉格式显然比显式或隐式的欧拉格式具有更高的精度。事实上，由泰勒展开知力3y（兀+i）=歹（兀_1）+2砂（兀）+—ySvf<兀+i假设兀=y（兀）,为-1=歹（兀-1）,则

8、上式右端前两项之和即为按