《数值分析》教案6

《《数值分析》教案6》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、1.7.2三次样条插值的基本原理三次样条插值也是一种分段插值方法，用分段的三次多项式构造成一个整体上具有函数、一阶和二阶导函数连续的函数，近似地替代已知函数/U），“样条”一词源于过去绘图员使用的一种绘图工具样条，它是用于富于弹性、能弯曲的木条（或塑料）制成的软尺，把它弯折靠近所有的基点用画笔沿着样条就可以画出连续基点的光滑曲线。假设已知函数/（4在区间［^］上的（m+1）个节点a=x{}<

2、A，X），…，（夂，3），可以构造一个定义在［A纠上的函数SM,满足下述条件。①S（xi）=yii（f=O，l,2,•••，”）②义幻在每个小区间［七，'+1］（/=0，1,2，〜^-1）上，都是一个三次多项式：235.（%）=aj0+ai{x+ai2x+ai3x（1-42）③S（x）,S'（x），S〃（x）在［€?，/?］上连续。可见，是一个光滑的分段函数，这样的函数称为三次样条（Spline）插值函数。构造的函数只幻是由〃个小区间上的分段函数组成，根据条件②，每个小区间上构造出一个三次多项

3、式，第f个小区间上的三次多项式为Si（^）=aiQ+aiXx+ai2x2+ai3x3,共有W个多项式，每个多项式有4个待定系数。要确定这〃个多项式，就需要确定4H个系数aiO，ail，ai2，ai3(/=0,l，2,*",n-l)。为此，应该找到包含这些系数的4H个独立方程。根据SM满足的条件①，在所有的节点上可得出(《+1)个条件方程：S(xi)=Z-,G’=O，1,2，."，Z2)(1-43)根据SU)满足的条件③，除两端点外在所有节点上，又可得出3(n-1)个方程：A(而)=+i(X)<

4、S^Xi)=SfM(Xt.)(j-1，2,…，打一1)(1_44))=S；+1(x,.)由式(1-43)和(1-44)式可知共有-2)个独立方程，还差两个。通常的办法是在区间［«,糾的两个端点上各加一个条件，即称之为边界条件。常用的边界条件有以下三种：(1)给定两端点处的导数值=W(x„)=/,，特别地，当=乂=0时，样条曲线在端点处呈水平状态。(2)给定两端处的二阶导数值，=特别地，当，(％)=S%x„)=O时，称为自然边界条件。(3)如果/U)是以为周期的周期函数，则只为也应是具有同样的周期

5、的周期函数，在端点处需要满足Sa+0)=Sb-0Sa+0)=Sb-0)这样，在已有的(4〃-2)个条件方程基础上，再加上任何一种边界条件，即可求出这4n个系数，从而就可以求得三次样条插值函数S(x)。1.7.3以节点处的二阶导数值为参数的三次样条插值函=(Z=O，1，…，《)，因为在小区间［〜而+门上kS(x)=Sz(x)是三次多项式，故^00为线性函数，由Lagrange插值公式得Sx)=M、x-Xx-X：X：-xz+1Z+l-xiXG[%z1](1-45)式中，办,=-x,对式(

6、1-45)两边进行一次积分，得出S；U)=Mm~Mi^~Sr~+Ai»%e[X/，X/+l](1-46)再对式(1-46)两边进行一次积分，得出乂⑶=Mm(X:z)_Mi)+A(I-七)+辱％e[%,.，A；z+1]6h.6h，1‘<*(1-47)式中A，尽都是积分常数。代入插值条件)=义，A(A+1)=X+1，得h2h2si(xi)=Mi-r+Bi=yi(xM)=Mm+\+Bt=yM6，6X/，Z•是已知的，解这两个方程，得出次与6/，代入式(1-47)得出:S^x)=M(x-xz)36h

7、:-M(%-七+1)36h：__x-x：z-叉一七+1h:Z+1(z*=O，l，."，"一l)求导得=i+h：(1-48)(又一人)2(xM-x)2tyM-yth^MM-M,2h：-M：2h：h:XG[X;,X/+1](1—49)AXx)在［〃，/?］上连续，所以在相邻两个小区间的分界点X/(节点)上取值相等:(1-50)S-_}-0)=S'(X.+0)?/=1,2,…,n-1由式(1—49)和式(1-50)便可得出:S^Xi_Q)=Mih:'乂一Z、h:7-13~z-lz•—1=5；(xz+

8、0)=3ni6点('•-0)G［x^，•^，点(xz+0)e［X,•，而+l］，因此，在代入式(1-49)时区间长度分别用么-1=%，一A-l和久=A+1—A。移项整理可得:h：+h：+2Af+h:"yM-yin、h：+h：h：h：z-l若令+h{6M么-1(1-51)它们均为常数，于是上式变成:Ci,G=1,2，".,ZZ-1）（1-52）式（1-52）给出了含有h+1）个参数M0，Mp…，似„的0-1）个方程，称为三次样条的M关系式，或按其动力学意义，称为三弯矩方程。这（〃-1）个方程中共有