2、10.21.2000001.2428060.04280620.41.4800001.5836490.10364930.61.8560002.0442380.18823840.82.
3、3472002.6510820.30388251.02.9766403.4365640.4599242）用改进的Euler公式进行计算，具体形式如下:）0=1席=兀+心+X）跖=兀+力（石+1+溜）力+1=+y}+)i=0,1,2,3,4计算结果列表如下■1舌X溜卜（石）-X00.01.0000001.2000001.2800000.00000()10.21.2400001.5280001.6256000.00286020.41.5768001.9721602.0912320.00684930.
4、62.0316962.5586352.7033030.01254240.82.6306693.3168033.4940300.02041351.03.4054170.031147ryf=-y(x>0)3.对初值问题，证明用梯形公式所求得的近似值为［『(0)=12-/7；y(加)沙=(-~~)l(i=0,1,2,…)2+h并证明当时，它收敛于准确解y=e~Xi，其'I1Xj=ih为固定点。解：1)对以上初值问题用梯形公式得hJ+i=X+—［(-J7/)+(一)I+i)］，i=0,1,2,…』()i其
5、屮N=ih由上式递推得2)yi=(2-/?•l-h2J2(1-护肖——==e92护h2lim(l——)''心82limx=5•证明h艰=升+評+4他+他)鸟2=/(可+£，力+*加］)上3=/(xz+h,yi-hk、+2hk2)是1个3阶公式。证明X+i=X+;伙1+4他+心）6K=f（习,旳）鸟2=f（xi+
6、，X+£'1）他=fg+h,yz-hk、+2hk2）是一个3阶公式解局部截断误差为[/+1=歹（习+1）—），（石）一纟（K]+4K2+K.）0K严.心”))hK2=f(x^-,JC3=
7、f(xt+h,y(xi)-hK[+2hK2)出微分方程有yx)=f(x,y(x))M(兀,y(Q)dx埶“⑴）rw=亠型+卑严m)+ywdxdyS2/(x,y(x))dx2d2f(x,y(x))yM+y”胪(3⑴)dxdy8分（兀,）心））dx2+2yV)8分（兀，『⑴）dxdy+畑分+)，©)敬兀,）心））K、=yxi)hhK2=f^i^-，丁(可)+尹(可)=f(X,y(G)+£坐沖+1ya)df(“，心))2ox2dx+_1「上）2带/（並』（九））2^22，a%2+決）2叽炖dy+2卫
8、厶g刊Eg)22dxdy血2hh2=yU)+-/(xz)+-+0(/?)+0(/,)心=/（习+h，》（可）+妙（看）+肪yS）+0（沪））〃"(“))+淬(＜心))+血5)+巧dx2/2+2”％"”））+"（兀）2心（3（兀））dxdy+0(胪)=Vg)+砂(习)+y2池石)+yxi)+0(沪)/72力3心"©）+歹©）+訂⑷+。（胪）h--ya)+4ya)+2wa)6h2+一2+y'(Xi)+hyxi)+^<彷）“）_心严，畑）=0（胪）・••所给公式是一个3阶公式6.导出屮点公式（或称E
9、uler两步公式）兀+1=兀_1+2/#（无，兀）并给出局部截断谋差。解：1°法1将后退Eluer公式X=儿一1+借（為，刀）和Eluer公式X+l+〃（习，刃）相加得到X+i=X_i+2hf（xi9yi）2°法2得畑二也气严2加©）,齐（―柿）2/?6代入等式得到2n6变形得到y（x（+i）=yU/-i）+2妙（可,y（N））+忽略小量项[/?『"©•）,并用兀代替丁（為），得到中点公式刀+1=力_1+2〃（為，开）局部截断误茅心+1=y（召+1）-y（石•_1）—2吋'（Xj,y（兀•））1O
10、=2hyXxi）+三沪广S+%）—2g）6丿爪广s+处）67•证明解y'=/（x,y）的公式：畑冷®+畑）+諛心+”畑）-畑力）+3念_,畑）]是二阶的，并求出其局部截断误羞。1h解：/?/+i=y（x/+i）--［y（x/）+y（x/_1）］--［4/（x/+1,^（x/+1））-/（兀,）"））+3/（s,y（g））］=y（兀+i）-£y（兀）-£丁（兀一1）-御仇“+扌y'（兀）-1⑪'（兀一）23=y（xt）+hyxi）+—y"（七）+—）严（可）+0（沪）一£y（xf）
