数值分析实验6

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1、实验6・1(Lorenz问题与混沌)问题提出:考虑著名的Lorenz方程=s(y-x)=rx-y-xz=xy-hz其中s,r,b为变化区域有一定限制的实参数,该方程形式简单,表面上看并无惊人之处,但由该方程揭示出的许多现象,促使“混沌”成为数学研究的崭新领域,在实际应用小也产生了巨大的影响。实验要求:(1)请读者找出Lorenz方程与上述程序屮使用的方程间的关系。(2)对目前取定的参数值SIGMA、RHO和BETA,选取不同的初始值y()(当前程序屮的yO是在坐标原点),运行上述的程序,观察计算的结果冇什么特点?解的曲线是否冇界?解的曲线是不是周期的或趋于某个固定的点?(3)在问题允

2、许的范围内适当改变其中的参数值SIGMA、RHO和BETA,再选取不同的初始值yO,运行上述的程序,观察并记录计算的结果有什么特点?是否发现什么不同的现象。程序清单:主程序:%BLZPlottheorbitaroundtheLorenzchaoticattractorelfclc%Solvetheordinarydifferentialequationdescribingthe%Lorenzchaoticattractor.Theequationaredifinedin%anM-file,blzeq.m%ThevalueoftheglobalparametersareglobalSI

3、GMARHOBETASIGMA=10.;RHO=10.;BETA=20.;%Thegraphicsaxislimitsaresettovaluesknownto%containthesolution・axis([()50-3030-303()])view(3)holdontitle('LorenzAttractor')y0=[00eps];tfinal=100;[t,y]=ode23('blzeq[01final],yO);plot3(y(:,l),y(:,2),y(:,3))blzeq函数程序%BLZEQEquationoftheLorenzchaoticattractor%yd

4、ot=lorenzeq(t^y)%Thedifferentialequationiswritteninalmostlinearform,functionydot=blzeq(t,y);globalSIGMARHOBETAA=[-BETA0y(2)0-SIGMASIGMA・y(2)RHO-1];ydot=A*y;实验结果及其分析:题中的方程与程序中的方程的关系是变量进行了轮换,x换成了y,y换成了z,z换成了x。原点为原方程的一个奇点,当初始位直稍稍偏离原点如取为[0,eps,0,](按原方程屮的顺序,下同)得到的图像如下:LorenzAttractor0分析:这是一个典型的奇怪吸引了

5、的图像,曲线有界,但他不收敛于某一点也不是周期的,而是在两个位置附近来回的跳跃。収初始位置分别为[10,10,10J,[50,50,50」得到的图像如下:分析:个初始变虽值相同时,曲线总是被吸引回奇怪吸引了附近作来回跳跃,在初始变量值取道[200,200,200],[-200,-200,・200]时,依然如此。下面分別考察初始值的每个分量变化对图像的影响:y分量:[0,3,0][0,7,01L0,7.69516,0J10,7.69517,0J[(),14.23,0][0,14.24,0]LorenzAttractor分析:从上而可以看见,随着初始X值的增大,奇怪吸引子中曲线在其附近来

6、冋跳跃的两个位置中的一个吸引力变弱,另一个吸引力变强,然后在初始X収某一特定值时,一个位置丧失吸引力,另一位置则将III]线完全吸引过來变成普通吸引子。初始X继续增人到某一特定值,情况乂会变回来。对初始X值单独变化的情况也冇类似的现象。这所明在空间存在-•些区域,当初始位置位于这些区域外时解将出现奇怪吸引子的性质,而在这些区域以内解将呈现普通吸引子的性质。Z分量:[0,0,20]LorenzAttractor分析:从图上可以看出解的曲线为一直线,这可以从方程的角度来解释。当x=0,y=0时在方程屮dx/dt=O,dy/dt=O,x,y方向的值不发生变化,仅z方向的值变化,因此解为一自

7、线。当SIGMA=10,RHO=2(),BETA=1(),初始值取[0,eps,0]时,图像如下:对初值进行调整没有发现奇怪吸引子的出现。只调整BETA变量情况如下:SIGMA=10,RHO=28,BETA=9.6/3[0,eps,0]SIGMA=10,RHO=28,BETA=9.7/3[0,cps,0]SIGMA=10,RHO=28,BETA=15/3[0,eps,0]LorenzAttractor改变SIGMA>RHO的值也有类似的现彖。实验6・2(刚

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