数值分析教案

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1、数值分析教案Chls弓I论§1、数值分析及其特点1、数值分析主要研究用计算机求解数学问题的数值方法及理论，内容主耍包括:1数值逼近（插值与拟合、多项式逼近和数值积分等）（Ch2〜Ch4）2数值代数（求解线性、非线性方程以及特征问题的数值方法）（Ch6〜Ch9）3常微分方程的数值解法（Ch5）2、数值分析的特点1首先要冇可靠的理论分析，以确保算法在理论上的收敛性和数值稳定性；2其次耍对计算结果进行谋差估计，以确定其是否满足精度；3还要考虑算法的运行效率，即算法的计算量与存储量。例如Codey和Tukeyl965年捉出FFT,,N=32K,1000倍§

2、2、数值分析中的误差1、误差的类型与来源1模型误丼；2观测误差；3截断误差（方法误差）一模型的准确解与数值方法准确解之间的误差；4舍入误并一实数形式的原始数据与浮点形式的计算机数据Z间的误并。数值分析主要研究截断误差与舍入误差。nY~jrx例1、根据Taylor展式e=l+x+一+…+—+/?〃（x）计算訂（误差小于0.01）。2!/1!解：八E+晋呼斗+于厂苕刃—而（截断時）-0.3667（舍入龄）2、误差的基本概念①误差与误差限设无为某量的精确值，F为兀的一个近似值，则称/=为T的（绝对）误差，e；=x-x/x为F的相对误差。用某种方法

3、确定的误差的某个上界，称为T的误差限，显然

4、%-Z

5、<^,EPZ-^

6、,1,2-..,6）,并做谋差分析。x+5解：人訂y+E；W=-5/心+丄,/。訂：伞in*0・1823=1dx/；JOY^SNx+55/；=0」823算法l:■皿+丄，结果见下表。▽1/1fIf11)r*又一<------<一，----------

7、0.088420.05770.05800.058030.04580.04310.043140.0210.03440.034350.0950.02810.02856-0.30830.02620.0243误差分析:即在计算过程中误差放大了5〃倍。即误差缩小了5"倍。定义若某算法受初始误羞或计算过程中产生的舍入误羞的影响较小，则称Z是数值稳定的，反之称为不稳定算法。2、病态问题例3、将方程/?（兀）=（兀一l）（x—2）…（兀一20）=0,即兀"一21029+..・+20!=0改为摄动方程21919-237X°-（210+£）X+---+20!=0,即p

8、（x）-£r=0,其中E=2«10"oWilkinson用精密方法计算出其根为:1.0000,--,6.0000,6.9997,8.0073,8.9173,10.0953±0.6435Z,•••,19.5024±1.9403/,20.8469。令p（x,£）=0一©io+£）卫9+…+20!,其根为X.（£）,i=1,2,…20,则当£T0时,兀（e）tio显然九⑹d£反映了初始数据的微小摄动对旳（◎的影响程度即£=（）•19因〃（£（£）=0,,£故）-左叫―）"T）£=0/及问题的条件数。10_,8九（£）10-3dedXj（£）10'8104

9、20107（坏条件问题）10〜19106〜IO?定义2：若初始数据的微小课羞都会对最终的计算结杲产生极大的影响，则称这种问题为病态问题（坏条件问题），反之称其为良态问题。例4、分别将线性方程组的右端「向1量和系数矩阵中数据做一个微小变化，具体数据如F：0厂10787、X】<32.1<9.2、7>7565兀222.9X=-12.6886109兀333.14.5,7,75910<30.9,「1.1丿丿1078.17.2、"32<-8P、7.085.0465兀2_23X=13785.989.899兀333-34円丿,316.994.9999.98；<22

10、,丿然后用精确方法求解，发现其解与原方程解相比发生了很大的变化。这表明此方程组为病态方程组。§4、算法的实现与常用的数学软