资源描述：
《数值分析教案3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1・5分段线性插值从已知的一些离散数据点及其函数值，即函数的列表法表示，推求出未知点上的函数值的所谓插值方法，在科技工作中应用十分广泛，如查对数表、三解函数表中都会遇到这类插值问题。MATLAB中设有许多插值指令，这里仅介绍最常用的一元函数插值指令，它可以使前面讲过的理论得以计算机实现。1.5.1一元函数插值（查表）的MATLAB实现该命令的调用格式为:yk=interp1(x,y,xk/method1)①输入参数x和y为已知的两个同维向量X—{xJixn和y={yihx「满足函数y.=f（xJ关系，它们是进行“造表”的根据，把Xj,yi称为样本点即插值节点。②输出量儿是与耳对应的函
2、数值。插值点耳"4儿］可以是数值、向量或矩阵，yk与Xk维数相同，其元素一一对应。③用单引号界定的method有4种参数可供选择:•Iinear线性插值•nearest最近插值用直角折线连接各样本点。用直线依次连接各样本点，形成折线。省略'method1时，即默认为此项。•pchip（或cubic）分段三次插值用分段三次多项式Hermite插值曲线，依次连接相邻样本点，整体上具有函数及其一阶导数连续性。spline三次样条插值用分段三次多项式曲线光滑地连接相邻样本点，整体上具有函数、一阶和二阶导数连续性，插值点九可以在区间］外的附近取值，可以是数值、向量或矩阵，儿与兀同维。这个命令并
3、不输出插值多项式函数，只输出插值点上的函数值。这就相当于根据数据对(兀歹)“造表”，然后查出对应用于兀的函数值,所以又称为查表指令。【例-8】在区间［0,10］画出y=sin(x)的曲线，取插值节点嫌二底£=0,1,…」0和节点处的函数值yk=sin(x^),作分段线性插值，并画出相应的折线图，将两图形绘在一张图上。解：编辑窗口输入下列命令:x二0:10;y二sin(x);xi=0:0.5:10;yi=interp1(x,y,xi,1Iinear1)t二0:0.001:10；z=sin(t);pIot(x,y,1ro1,xi,yi,t,z,1Iinewidth',2);Iegend(
4、'插值节点','线性插值','sinx')执行命令后得如图1-5所示图形Iinear*方法求vll的近似值。解：在命令窗口输入:»x=[14916];y=[1234];»xi=11;»yi=interp1(x,y,xi,'Iinear1)回车得到:yi3.28571-5.2龙格现象与分段插值仅从截断误差公式来看，用插值多项式近似替代函数时，似乎分点数越多，插值多项式的次数越高，产生的截断的误差就越小，实际上并非如此。龙格证明（称龙格现象），高次插值多项式并不一定都能收敛到被插值的函数±,而且还增加了许多工作量。例如，将函数/（无）=宀用2次插值多项式1+L函数AoW替代时，高次插值多
5、项式并不理想，这可从图-6看出。图中实线是函数/（兀）的曲线，虚线是用拉格朗日插值多项式函数PM画的，虽然多项式插值函数都过了样本点。点线是线性插值，实线是函数/（兀）的曲线。可以证明，当节点无限加密时，Lagrange插值多项式也只能在很小范围内收敛。这一现象称为龙格现象，它表明通过增加节点来提高逼近程度是不宜的。因而一般不采用高次多项式插值。5・4-3・20123451-6Runge现象【例1-】在Runge给出的等距节点插值多项式不收敛的例子中，函数为兀劝=丄在［-5,-5］区间以0.1为步长分别进行Lagrange插值和分段线性插值，比较两种插值结果。解clear;x二［-5
6、:1:5］;y=./(1+x「2);xO二［-5:0・1:5］;y0=lagrange(x,y,xO);y1=1./(1+xO.八2);y2=interp1(x,y,xO)pIot(x,y,1ro','Iinewidth',2)hoIdon;pIot(xO,yO,--',1Iinewidth1,2);holdon;pIot(xO,y1,1Iinewidth',2);hoIdonpIot(xO,y2,1r:1,fIinewidth1,2);legendC插值节点'「拉格朗日插值'线性插值J程序运行结果如图1-6所示。从图中可以看出，Lagrange插值的虚线已经严重偏离了原函数的实线，
7、而分段线性插值出的点线是收敛的。直观上容易想像，如果不用多项式曲线，而是将曲线丁=/（兀）的两个相邻的点用线段连接（见-7图），这样得到的折线必定能较好地近似曲线。而且只要y=连续，节点越密，近似程度越好。由此得到启发，为提高精度，在加密节点时，可以把节点分成若干段，分段用低次多项式近似函数，这就是分段插值的思想。用折线近似曲线，相当于分段用线性插值，称为分段线性插值。图1-7分段线性插值设在区间S,b］上给定”+1个节点a=x0
