数值分析3数值积分与数值微分

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1、第3章数值积分与数值微分§3.1插值型求积公式§3.2牛顿——柯特斯求积公式§3.3复化求积法§3.4龙贝格求积公式§3.5高斯求积公式§3.6数值微分§3.7数字图像的导数与梯度§3.1数值积分的基本概念1.问题的提出b工程应用中常需要计算定积分。()对于定积分fxdx，a,]设fx()在区间[ab上连续，Fx()是fx()的原函数，b—)则由NewtonLeibaniz公式有fxdx()Fb(F()a虽然用该公式我们已经解决了很多理论和应用问题，但还有许多解决不了的问题，因为还会遇到下列一些困难（）1(fx)的原函数不是初等函数，1

2、11x2sinx3如；edx,,dx1xdx000x（）2fx()的原函数的表达式相当复杂性，求值困难，如1dx31x4（）)3(fx不连续，甚至没有解析表达式，而只有通过实验或测量得出的一组离散数据；2.数值积分的基本思想nb定积分定义f()xdxlimf()iixa0i0nnf()iixAiif()xii00基本用fx()在积分区间[,]ab上某些点处函数值b思想的线性组合来近似代替定积分fxdx()，即anbf()xdxAfxii()ai0nb记作If()fxdx()Af

3、xiin()If()ai0yynb求积公式:yfxIf()fxdx()Afxiinyfx()If()ai0求积余项:EfIfIf()()()求积节点:xai[,]bnnf求积系数:OaAi(相当于权,与有关,与bxfiOa(x)的具体表达式无关)bxxb例如：n0(时，f()xdxAfx00()bafx)(0)矩形公式abban=1时，f()xdxAfx()Afx()[()fafb()]?0011a2梯形公式一般的，在工程应用中，常常要计算加权的定积分nbIf()()(

4、)xfxdxAfxiin()If()ai0权函数()x的要求：在(,)ab上()0x，并且至多有有限个零点；bkxx()(dxk0,1,2,,)n存在（主要对有限区间的要求）a3．需要解决的问题（）衡量求积公式好与坏的标准；1“”“”（）如何构造求积公式，即与的确定；2Axii（）误差估计；3（）求积公式的稳定性4问题(1)求积公式“好”与“坏”的标准——代数精度k定义:如果当fxxk()(0,1,,)m时，求积公式准确成立；m1而当fxx()时，求积公式不准确成立，那么称求积公式具有m次代数精度。k注：①定,义

5、中fxxk()(0,1,m)可换为f()xm是定次数不超过的多项式（等价义）；②通过误差分析，可以确定用代数精度能够衡量求积公式的精确性。且越大，求积公式的误差的绝对值mEf()n也越小。问题（2）求积公式的构造方法方法1待定系数法nbk将ff()xxkm(0:)分别代入求积公式()()xfxdxAxi()i得：ai0AAAC01n0AxAxAxC0011nn1222AxAxAxC0011nn2mmmAxAxAxC0011nnmbkCx()xdx(k0:)m

6、其中ka。若求积节点xi(0:)n给定，方程组i111A0C0xxxAC01n11mmmxxxAC01nnm有mn11个方程，个未知数。当，mn且x(0in:)互异时，存在唯一解AA,,A。in01由此可以唯一确定至少具有n阶代数精度的求积公式nIfni()Afx()ii0此方法称为待定系数法。hf()xdxAf()hAf()0Af()h例试确定求积公式h101中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所构造出的求积公式

7、的代数精度。2解:将fx()1,,xx分别代入公式使其准确成立，AAAh210114则有hA11hA0A11Ah,Ah0332223hAhAh113hhh4h故求积公式fxdx()f()hhf(0)(f)Simpson公式h33334验证知：fxx()代入准确成立，fxx()代入不准确成立。因而该公式具。有3次代数精度方法2插值法基本思想：根据fb()[,]xx在an上n1个相异节点xi(0:)的值f()，ii2n构造一个次插值多项式nLxaaxax()ax，

8、nn012使其满足Lx()()fxyi(0:)n。niii并用L()x近似代替f()x，由此构造的求积公式nnbb()()xfxdx