数值分析Ch4数值积分与数值微分

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1、数值积分与数值微分§1・引言1.问题的提出在用Newton-Leibniz公式：(f(x)dx=F(b)_F(a)计算积分时往往而临下列困难：(1)/⑴的原函数不是初等函数，例如/(x)=sinx/x,sin(1/x),ex2等；(2)/(x)的原函数过于复杂，不便应用Newton-Leibniz公式；(3)门对为离散形式。2.数值积分的基本思想——机械求积根据积分中值定理及定积分的几何意义：=(«)+/(/?)]0数值积分的基木思想是：将积分[f{x)dx表示为于(对在若干点处值的线性组合即打⑴dx=

2、£人/(忑)+/?[/],xk,Ak1Jt=O和&门分别称为求积节点、求积系数和余项。f(x)dx«Akf(xk)称为求积公式。k=()3.代数精度定义1若对于不高于加次的多项式，余项/?[/]=0,而总存在加+1次多项式使&门H0,则称求积公式代数精度为加。4.插值型求积公式定义2对a

3、求积公式打⑴必~丈仃(无)为插值型O其代数精度至少为77。1k=0证充分性。若求积公式的代数精度至少为H，则=工也3)=4,即求积公式为插值型。/=0必要性。设/(X)为任意〃次多项式，厶“(X)=£/(兀帆⑴。因为/(兀)和Jt=()厶(x)均为过n+1个点(兀,y)(i=0,1,2,…,/?)的斤次多项式，所以/(x)=Ln(x)o从而，若求积公式为插值型，则其代数精度至少为〃。§2.Newton-Cotes公式一、Newton-Cotes公式1.定义对插值型求积公式ff(x)dx«£忑)，若取等距

4、节点xk=a+kh,h="k=0—,则h(x)=fl—~，4=flk(x)dx，此吋称求积公式为Newton-Cotes公式。”蒿忑一兀h详k当料=1吋，称为梯形公式：打(x)dx=£[/(a)+f(b)]=牛织/(a)+/(/?)]；JJ当n=2时，称为Simpson公式：打(x)dx=£5+/?、b—a(a+b^/(a)+4/<2丿+/@)_6f(a)+4f<2丿+f(b)当料=3时，称为Simpson-3/8公式：ff(x)dx=y[/(6Z)+ya+防+3f(a+2/i)+f(b)]=牛[如+

5、3fW+h)+3/(q+2/0+f(b)]:当n=4时,称为Cotes公式：2.余项/?[/]=-仃⑷@)/90-3/卄⑷©/80-8/17/(6)(^)/945n=1n=2n=3n=4可见,Newton-Cotes公式的代数精度为71+1nffMdx=守[7/(6/)+32/(6/+A)+12/(6/+2/7)+32/(67+3h)+7/(/7)]。x丸Xjt+1丨爲-1丨Vi"Tn-1hTn=工人=工卩（忑）+/（%）］弓心）+2工/（耳）+/（方）k=3.收敛性与数值稳定性⑴求积公式收敛的必要条

6、件为巧二£

7、如有界;k二0⑵对较大的n（n>7）,Newton-Cotes公式不稳定，不宜釆用。二、复化求积法将［a,h］n等分，在每个小区间上用低阶Newton・Cotes公式求得该区间的积分值人，则I江.，此方法称为复化求积法。1.复化梯形公式丨珀丨Ct=Xq兀］h-anhw-lk==-/(g)+2工/(d+肋)+/@)Li，二i2.复化Simpson公式n-l/t-1h"0k=0工人=S$[/(g)+4/(兀如)+/g+2)]/(Q)+4工/(x2,+I)+2工f(x2k)+.f0)«=0*=1

8、/(d)+4工/(d+(2k+1)/2)+2工+2kh)+f(b)k=()k=分别用复化梯形公式（n=8）和复化Simpson公式（n=4）计算［也込〃兀。1/82/83/84/85/86/87/8f(x)10.99739780.98961580.97672670.95885100.93615560.90885160.87719250.8414709+/(1)u0.9456909；h"T]]7(T,=~/⑷+2工卅+M)+/(b)=-•-/(0)+2^/-k=lLk=k=12^43/(0)+4》.

9、f*=02^+r丁>3+2±fk=l+/(Du0.9460832；hw-l"TS4A=0§/(Q)+4》/(a+(2k+1)/7)+2工f(a+2肋)+f(b)/=0.94608313.复化公式的误差-瞎叶©(梯形)复化公式余项为门--一/i4/<4)(^)(Simpson)2880§3.Romberg算法复化求积公式精度较高，但需事先确定步长，缺乏灵活性。下面介绍变步长的Romberg算法。1.加速收敛技巧在用序列片,竹，…逼近尸时，若能