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1、第六章数值积分与数值微分第一节值积分的基本概念7.1.1求积公式与代数精确度积分中值定理告诉我们,如果函数在区间上连续,则在积分区间内存在一点,使成立。由于的具体位置一般是未知的,因而难以准确地计算出。如果能够提供一种求的算法,相应地便得到一种数值求积方法。若近似地用积分区间端点处的函数值与的算术平均值替,便导出计算积分的梯形公式(7.1.1)若近似地用积分区间中点处的函数值代替,导出计算积分的中矩形公式(7.1.2)一般地,所谓数值求积方法是指，在积分区间［a,b］上适当地选取某些节点,然后用加权平均得到,这样构造出的求积公式为(7.1.3)或写为(7.1.4)其
2、中,称为求积节点,权称为求积系数,它仅仅与节点有关,称为余项。为了保证数值求积公式的精度,我们自然希望求积公式能够对尽可能多的函数f(x)都准确成立,这在数学上常用代数精确度这一概念来说明。定义如果某个求积公式对于次数不超过的一切多项式都准确成立,而对某个次多项式并不准确成立,则称该求积公式的代数精确度为。显然,梯形公式(7.1.1)与中矩形公式(7.1.2)均具有一次代数精确度。一般地，欲使求积公式(7.1.3)具有次代数精确度,只要令它对于26都准确成立即可,即要求(7.1.5)(7.1.5)式由个方程组成，包含有个节点以及个待定的求积系数。如果我们事先选定并且
3、取，求(7.1.5)可确定，从而使求积公式(7.1.3)至少具有次代数精确度，如果适当选择及，求解(7.1.5)可能使求积公式(7.1.3)具有次代数精确度，由此可知，构造数值求积公式实际上是求与的代数问题。7.1.2插值型的求积公式设给定一组节点，且已知函数在这些节点上的值，作插值函数,我们取（7.1.6）作为积分的近似值，这样构造出的求积公式(7.1.7)称为插值型的,其中求积函数通过插值基函数积分得出(7.1.8)由插值余项定理可知,对于插值型的求积公式(7.1.7),其余项(7.1.9)其中，与有关，对于次数的多项式，其余项等于0，因而插值型求积公式(7
4、.1.7)至少具有次代数精确度；反之，如果求积公式(7.1.7)至少具有次代数精确度，此时它对于插值基函数应准确成立，即注意到，因而式(7.1.8)成立，即(7.1.7)为插值型的。26综上所述，我们有下面结论：定理形如(7.1.7)的求积公式至少有次代数精确度的充分必要条件是它是插值型的。第二节牛顿-科兹公式7.2.1牛顿-科兹公式将区间划分为等分，步长为，其分点以此分点为节点构造出的插值型求积公式（7.2.1）称为科兹公式(Newton-Cotes)公式，其中（7.2.2）称为科兹系数，令,则有（7.2.3）当时，由(7.2.3)式可得科兹系数为相应的求积公
5、式是下列梯形公式（7.2.4）当时，由(7.2.3)式算得科兹系数为相应的求积公式也称为抛物线公式(或辛普森(Simpson)公式)。26（7.2.5）当时，牛顿-科兹公式为（7.2.6）它也特别称为科兹公式，其中，表7-1中列出柯特斯系数表开头的一部分，从而可以建立相应的求积公式。表7-112345678…………从表中我们可以看到，当时，科兹系数有正有负，因而，稳定性得不到保证，故实际计算时一般不用高阶的牛顿—科兹公式。7.2.2误差估计作为插值型求积公式，阶牛顿—科兹公式的代数精确度至少是，进一步还有定理1当为偶数时，阶牛顿—科兹公式的代数精确度至少是。我们只要
6、验证，当为偶数时，牛顿—科兹公式对的余项为零即可。26由于,从而有令为正整数,再令，则有因为被积函数是奇函数，所以抛物线公式是时的牛顿—科兹公式，其代数精确度至少是3，但由于所以抛物线公式的代数精确度是3。下面给出梯形公式与抛物线公式的误差估计。定理2设函数在区间上具有连续的二阶导数,则梯形公式(7.2.4)的截断误差为(7.2.4)证明：由定义知，梯形公式的余项为由于在区间内不变号，而函数在上连续，故由积分中值定理，在内存在一点，使定理得证。定理3设函数在区间上有连续的四阶导数，则抛物线公式(7.2.5)的截断误差为26(7.2.5)证明：对区间上的函数，构造次数
7、的插值多项式,使满足由于抛物线公式(7.2.5)的代数精确度是3，所以抛物线公式对准确成立。应用第5章的插值知识不难得到故有由于函数在内不变号，而在上连续，故应用积分中值定理，在内存在一点,使或定理得证。抛物线公式的插值节点只比梯形公式多一个，但其代数精确度却比梯形公式高2，它们都是最为常用的数值积公公式，尤其是抛物线公式逻辑结构简单，且精度又比较高。对于求积公式(7.2.6)的积分余项，同理可以证明下面结论。定理4设函数在区间上有连续的6阶导数，则科兹公式(7.2.6)的截断误差为例用阶的牛顿-科兹公式计算积分(精确值为).解：利用梯形公式26利用抛物线公式利
