数值积分与数值微分matla

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1、MATLAB数值积分与数值微分MATLAB数值积分MATLAB数值微分2数学研究积分的概念起源极早，公元前3世纪左右正是希腊数学鼎盛期，尤多克斯（Eudoxus)、欧几里德、阿基米德，先后用“穷尽法”算出许多图形的面积、立体的体积及曲线的长度。例如，阿基米德用圆的内接正多变形周长来逼近圆周长。这种逼近法要不断地用到开方，所以过程非常繁杂。但这个原理却发展成为积分3数学研究裁缝数学家：数值积分的“辛普森法则”的主角是英国著名数学家；从小就帮父亲缝衣服，没受过正规教育。有次他搞到一本算命书和一本数学书；于是一边当裁缝，一边算命和教数学。1736年，他出了一本微

2、积分教科书，大获成功；完成了从裁缝到数学家的转变。有趣的是，让他千古流芳的辛普森法则并非他发明的为什么要作数值积分许多函数“积不出来”,只能用数值方法，如积分是重要的数学工具，是微分方程、概率论等的基础；在实际问题中有直接应用。对于用离散数据或者图形表示的函数，(可以先做插值然后积分；或者直接利用点做数值积分)计算积分只有求助于数值方法。数值积分的基本思路回忆定积分的定义各种数值积分方法研究的是如何取值，区间如何划分，使得既能保证一定精度，计算量又小。n充分大时In就是I的数值积分（计算功效：算得准，算得快）数值积分基本思想将积分区间细分,在每一个小区间内

3、用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，用代数插值多项式去代替被积函数发f(x)进行积分三个求积分公式①梯形公式y=f(x)yxaby=f(x)abyx(a+b)/2②中矩形公式y=f(x)abab矩形法数字积分的演示程序rsumsMATLAB中有一个矩形法数字积分的演示程序rsums，可以作一个对比。键入rsums('115-x.^2',0,10)就得到右图。图中表示了被积函数的曲线和被步长分割的小区间，并按各区间中点的函数值构成了各个窄矩形面积。用鼠标拖动图下方的滑尺可以改变步长的值，图的上方显示的是这些矩形面积叠加的结果。y=f(x)y

4、ab③Simpson公式(a+b)/2ab(a+b)/2用二次函数来近似2.辛普森(Simpson)公式（抛物线公式）梯形公式相当于用分段线性插值函数代替每段要用相邻两小区间端点的三个函数值抛物线公式提高精度分段二次插值函数数值积分yy=f(x)xbaox2kf2kx2k+1x2k+2f2k+1f2k+2区间数必须为偶数数值积分的实现方法1．变步长辛普生法基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quad('fun',a,b,tol,trace)其中fun是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。to

5、l用来控制积分精度，缺省时取tol=10-6。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。注意：fun.m中应以自变量为矩阵的形式输入(点运算)用MATLAB作数值积分Gauss-Lobatto公式[I,fn]=quadl('fun',a,b)用自适应Gauss-Lobatto公式计算tol为绝对误差，缺省时为10-6该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。例1求定积分：(1)建立被积函数文件fesin.m。functionf=fesin(x)f=exp(-0.5*x).

6、*sin(x+pi/6);(2)调用数值积分函数quad求定积分。[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)S=0.9008n=77也可不建立关于被积函数的函数文件，而使用匿名求解，命令如下：g=@(x)(exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6));%定义语句函数[S,n]=quad(g,0,3*pi)%不用加引号''S=0.9008n=77例2分别用quad函数和quadl函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。1.调用函数quad求定积分：clc,clearformatlong;fx=@(x)(exp(-x))

7、;[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254766n=652.调用函数quadl求定积分：clc,clearformatlong;fx=@(x)(exp(-x));[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254881n=18梯形积分法在科学实验和工程应用中，函数关系往往是不知道的，只有实验测定的一组样本点和样本值，这时，人们就无法使用quad等函数计算其定积分。在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用梯形积分函数trapz。被积函数由一个表格定义—梯形积分法在M

8、ATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz