3 数值积分与数值微分(12)

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1、数值积分与数值微分引言一、问题的提出既使函数是以解析的形式给出，但由于其表达式比较复杂，我们在高数中所学的方法很难甚至无法计算出其积分或微分的准确值，如（1）（2）在工程技术和科学研究中，很多情况下变量间的函数关系是以数表的形式给出的，无法运用我们学过的方法计算其积分和导数！6/10/20211二、数值微积分概述利用函数在一些点上的函数值，计算出该函数的积分或微分满足一定精度要求的近似值！（1）（2）数值微积分方法是其它数值方法，如微分方程数值解法等的必备基础。6/10/20212一、数值积分公式及其代数精度数值积分1、数值积分公式根据积分中值定理可以通过在区间[a,b

2、]内选择的近似值得到积分的近似计算公式:(1)(2)(3)(4)abxyy=f(x)矩形公式——梯形公式6/10/20213数值求积公式的一般形式为——求积节点其中——求积系数（与f(x)无关）（1）求积公式由求积节点和求积系数唯一确定；（1）注：（2）求积系数和求积区间、求积节点有关。6/10/20214为求积公式的截断误差或求积余项。称定义:注:求积余项刻画了求积公式的计算精度!2、代数精度定义:若求积公式（1）对任何次数不高于m的多项式都准确成立，而对于m+1次的多项式不能准确成立，则称求积公式（1）具有m阶代数精度。6/10/20215二、插值型求积公式设函数f

3、(x)在区间[a,b]上由定义，已知节点和相应的函数值从而可以确定插值函数1、定义及一般形式——Lagrange插值多项式以pn(x)作为f(x)的近似，可得——插值型求积公式其中(2)注：求积系数仅与求积区间和求积节点有关!6/10/20216插值型求积公式的余项令，构造插值型求积公式2、Newton-Cotes公式将求积区间[a,b]n等分，步长为，其中—Newton-Cotes公式Newton-Cotes系数6/10/20217事实上，注:Newton-Cotes系数只与n，k有关,而与f(x)和求积区间[a,b]无关。并且6/10/20218n11/21/221

4、/62/31/631/83/83/81/847/9032/9012/9032/907/90几种低阶Newton-Cotes公式的系数—梯形公式(1阶)—辛普生(Simpson)公式(3阶)n=4时，称为Cotes公式。(5阶)6/10/20219三、复合求积公式考虑到多项式插值的Runge现象，通常不用高阶的插值型积分公式！为了提高计算精度，我们把积分区间分成若干个子区间，每个子区间上的积分使用少结点的Newton-Cotes求积公式计算，然后再把结果相加，这就是复合求积的思想，所得到的公式就是复合求积公式。6/10/2021101、复合求积公式将求积区间[a,b]n等

5、分，再相加得到复合梯形公式：(1)复合梯形公式则复合梯形公式的余项为算法收敛，且数值稳定!问题9:实现复合梯形求积公式，画出流程图！6/10/202111(2)复合辛普生(Simpson)公式再相加得到复合辛普生公式：将求积区间[a,b]2n等分，复合Simpson公式的余项有表达式算法收敛，且数值稳定!6/10/2021122、区间逐次分半的思想——以复合梯形公式为例给出精度要求后，一般很难确定把求积区间多少等分，就可以利用复化梯形公式得到所需的积分值。通常等分区间太多则计算量增大，等分区间少，则达不到精度要求！为克服此困难，考虑如下方法:将当前的每个小求积区间二等分

6、，从而得到2n个小求积区间，区间长度为，再利用复化梯形公式来计算积分值，记为T1,把原来的积分值记为T0,则有因此，可以由

7、T1-T0

8、<作为精度控制条件!若满足精度要求则停止，T1即为所求，否则重复上述过程。6/10/2021131、插值型求积算法适用于有限区间[a,b]上连续函数的积分问题；2、复合求积公式是数值稳定的，龙贝格积分算法是插值型求积算法中最有效的算法。3、算法的评价指标：代数精度、求积余项，收敛阶，数值稳定性和函数值的计算次数！4、对于振荡积分，即插值型求积算法不是很理想！此时，先将f(x)用样条函数逼近，再分部积分。插值型算法总结6/10/2021

9、14数值微分插值函数数值微分法思想方法：以插值多项式近似代替函数，以插值多项式在节点上的导数值近似代替函数在节点上的导数值。推导公式：用此方法求微商，可以先求出插值多项式，然后各点上的微商就可以同时求出。下面给出几个常用的数值微分公式。设f(x)有插值多项式为Pn(x)，则6/10/2021152、二阶微商的三点公式一阶微商的三点公式(留作练习!)1、一阶微商的两点公式6/10/2021163、一阶微商的五点公式注：(1)三点公式与五点公式中有中点项。由于中点的导数值的表达式中不含有中点的函数值项，且函数值项的系数不大，因此选取节点的方法