数值积分与数值微分(I)

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1、第五章数值积分与数值微分5.1引言5.2Newton-Cotes公式5.3复化求积公式5.4龙贝格求积公式5.5高斯型积分5.6数值微分10/5/2021【本章重点】1.求积公式代数精确度定义，应用此定义建立求积公式。2.梯形公式，Simpson公式及它们的复合公式及余项表达式和误差估计。3.外推原理及Romberg求积公式。4.Gauss型求积公式及求积节点（即Gauss点）的充要条件，Gauss-Legendre求积公式与Gauss-chebyshev求积公式。5.求积公式收敛性与稳定性概念和基本结论。10/5/2021【课前思考】1．什么是代数精确度？

2、如何确定和验证求积公式的代数精确度和验证求积公式的代数精确度次数？如何利用代数精确度概念确定求积公式系数与节点？2．写出梯形公式、Simpson公式及复合梯形公式及复合Simpson公式和它们的截断误差。复合梯形公式和复合Simpson公式的误差是步长h的几阶小量？若给定误差，如何根据复合求积公式的误差估计求积区间等分数3．什么是Gauss型求积公式？什么是Gauss点？如何求Gauss点？10/5/2021§1引言一、数值求积的基本思想1、牛顿-莱布尼兹公式但是求函数f(x)的原函数F(x)不一定比计算积分容易，例如函数找不到用初等函数表示的原函数。另外若

3、给出的函数f(x)是数据表，也不好求函数的积分。计算定积分的方法：10/5/20212、积分中值定理但是点的具体位置一般不知道，故难以准确算出的值。有两种近似方法：得到梯形公式另一种是矩形法，左矩形公式一种是梯形法，用代替中矩形公式右矩形公式简称矩形公式10/5/2021定义：公式叫做数值求积公式（机械求积）其中xk称为求积节点，Ak称为求积系数,亦称伴随节点xk的权。10/5/2021二、代数精度的概念定义若某个求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确成立，但对于m+1次的多项式就不能准确成立，则称此求积公式的代数精度为m。一般要使求积公式具有m次精度，只

4、要令它使都能准确成立，即：10/5/2021解：逐次检查公式是否精确成立当f(x)=1：=当f(x)=x：=当f(x)=x2：故：代数精度=1例1考察有几次代数精度。10/5/2021三、插值型的求积公式设给定一组节点:且已知函数在这些节点处的函数值f(xi)(i=0,1,…n),由第二章知可以作插值函数Ln(x),由于Ln(x)为多项式，所以其积分可以很容易求得：记则上式=称公式：其中为求积系数。定义为插值型的求积公式。其余项为：10/5/2021证明：显然对于次数不超过n次的多项式，R[f]等于0，所以说明，插值型求积至少是n次代数精度的．至少具有n次

5、代数精度，所以用插值基函数lk(x)当作f(x)代入，上式精确成立，即：所以为插值型的求积．定理含有n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度的充分必要条件是它是插值型的。假设10/5/2021例2对于[a,b]上一次插值，有即。考察其代数精度。f(x)abf(a)f(b)解：逐次检查公式是否精确成立代入P0=1：=代入P1=x：=代入P2=x2：故：代数精度=1则积分公式10/5/2021四、求积公式有收敛性与稳定性在求积公式中，若则称求积公式是收敛的．定义定义在求积公式中，由于计算f(xk)可能产生误差，实际得到即：如果对任给的小正数，只要误差充

6、分小就有则称求积公式是稳定的．记10/5/2021求积公式中的系数Ａk＞０（k=0,1,…,n)则此求积公式是稳定的．定理证明：若取,则当有所以求积公式是稳定的．10/5/2021一、柯特斯系数注：Cotes系数仅取决于n和i，可查表得到。与f(x)及区间[a,b]均无关。§2Newton-Cotes公式为n阶Newton-cotes求积公式。其中：定义：等距节点下的插值型求积公式为cotes系数。10/5/2021n=1:梯形公式代数精度=1n=2:辛普森公式代数精度=3余项余项10/5/2021由书中表知，当时柯特斯系数出了负值，所以故时Newton-C

7、otes公式不适用。n=4:柯特斯公式代数精度=5余项10/5/2021二、偶数阶求积公式的代数精度证明：当n为偶数时，由于有引进变量x=a+th,并且显然有xj=a+jhn为偶数阶的Newton-Cotes公式至少有n+1次代数精度。定理t=u+n/210/5/2021几种低阶求积公式的余项梯形公式：辛普森公式：构造三次插值函数H(x)满足条件：则该函数满足三次代数精度，故辛普森公式柯特斯公式：10/5/20211、复化梯形公式将区间[a,b]划分为n等分，分点xk=a+kh,h=(b-a)/n,k=0,1,…,n，在每个小区间[xk,xk+1]上采用梯形

8、公式计算.称为复化梯形公式其误差为§3复化求积公式1