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1、第6章线性方程组的数值解法本章讨论求解线性方程组。求n阶线性方程组%1兀1+%2兀2+・•・％〃£=bla2lX{+a22X2HFa2nXn=b?(6-1)anX+^2^2+・・・十°初兀〃=bn的数值方法，该问题在工程技术中经常涉及到，是一个应用相当广泛的课题。为方便起见，将线性方程组(6-1)写成矩阵形式(6-2)Ax=b其中~ana12~b；A=a21■■■。22■•■…a2n■■■X=兀2■■■b—■•■_anlan2•••annJA_有线性代数知识得到，当Q=HIH0，方程组(6-1)有唯一解，并且可用Gramer(克兰姆)法则将解表
2、示出来，即：X_D[_D?_2羽一訂2-万，^n-—Gramer法虽然是解线性方程组的一种方法，但是计算量太大。因为一个n阶方程组需要计算n+1个n阶行列式，若n阶行列式采用代数余子式之和计算时，需要做n!次乘法运算，所以，运算量太大。迭代法具有存贮量少、程序计算简单和原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点，但也存在着迭代序列的收敛性以及收敛速度等问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的重要方法。本章介绍的求解线性方程组的直接方法是Gauss消去法、Gauss—Jordan消去法和矩阵分解方法。5.1线性方程组的求解方法5.1.1Gauss消去法1-G
3、auss消去法的的基本原理化线性方程组为等价的三角形方程组的方法有多种,由此导出不同的直接方法，其中Gauss消去法是最基本的一种方法。先举例说明Gauss消去法的基本思想的过程。【例6-1】解线性方程组12兀1_3兀2+3可=15—18X]+3x2—£=—15(6-3)解先消去方程组(6-3)中后两个方程中的变量兀1,得同解方程组兀1+兀2+无3=6(6-4)再消去方程组（6-4）中第三个方程中的变量兀2,又得（6-3）的同解方程组X]+(6-5)—15%2—9心=—572266Xo=535这是一个三角形方程组。由（6-5）容易解出兀3=3卫2=
4、2卫］=1。上述求解过程的基本思想是：先逐次消去变量，将方程组化成同解的上三角方程组，此过程称为消元过程。然后按方程相反顺序求解上三解形方程组，得到原方程组的解，此过程称为回代过程。这种方法称为Gauss消去法，它由消元过程和代过程构成。为后面符号统一起见，将方程组（6T）改写成以下形式兀1+°：；)兀2+…+=方1⑴+绘兀2+…+a2nXn=附(6-6)必匕+疋扛+…+疋比=b简记为昇⑴X=b⑴其中力⑴=A,b0）=bo—般地，求解〃阶方程(6T)的Gauss消去法步骤如下：♦消元过程第一步：设昭)主0,记Z(1=4：)/%(；)(i=2,3,•
5、••,〃)，将式(6-6)中的第i个方程减去第1个方程乘以/(1(^2,3,-,^),完成第一次消元，得(6-6)的同解方程组+a^x2H——+a^xn=也⑴(6-7)a(n2X2+•••+必4其中aiP即71础Q⑵=罗-佔⑴(门=2,3,…,)o方程组(6-7)简记为/⑵x=b⑵。第二步：设囲？工0,记厶2=4?/4?(心3,…加，将式(6-7)中的第i个方程减去第2个方程乘以厶20=3,…,“)，完成第二次消元，第k步:设第£一1次消元完成后得方程组(6-6)的同解方程组为a'lX+a2X2+…+akXk+…+aXn=勺⑴Cl^2X
6、2HFXr+FCl^Xn—bf(6-8)akkxk+…+44=bf•••••••••a^x.HFa(k)x=b(k)简记为A(k)x=b(k)。设此)工0,记〈/此)(心£+h…将式（6-8）中的第2•个方程减去第k个方程乘以lik（i=£+1，・・・必），完成第k次消元，得同解方程组anx+a（Sxi+…+^xk+唸血+i+・・・+a^xn=aSx2+…+Q；?®+Q芻％1+・・・+a^xnakkxk+akMxM+•・・+瞪xn=b£）aMMXk++…+a（k^Xn=bk^（69）此:X+1+・・・+廟％其中其中呦e=硝）-加外旷）二洋）
7、-加尸（门=£+1,…加。按上述作法，完成“―1次消元后，方程组（6T）化成同解的上三解方程组aSX2+aSX3+••・+a2nXna^X3+…+xx+x2+x34卜xn=$⑴闰引（6-10）简记为A（n）x=b（n）♦回代过程按变量的逆序逐步回代得方程组（2T）的解。X=対）//）nnnn（£=〃一1,〃一2，・・・，1）（6-11）xk=bf-£谓xil=k+丿算法(1)输入4=(a)b=(b&・、bny,置k=lo(2)若色转3；否则输出失败信息,停机。(3)对i=k+1，…/置aikakk亠aikbj-aikbk=*E对j=k+置d“
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