数值分析6new

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1、第六章常微分方程的数值解法§6.1引言在高等数学的有关常微分方程的内容中，我们主要讨论的是一些典型方程的解析解的基本求法.然而在生产实际和科学研究中遇到的微分方程往往比较复杂，在大多数情况下都不能得到问题的解析解表达式；有时即使是一些已有了求解的基本方法的典型方程，在实际使用时也有很大的困难.如求解线性常系数微分方程，当方程的阶数较高时，就涉及高次代数方程的求根问题.因此在实际问题中，对于求微分方程，一般只要求得到解在若干点上的近似值或者解的便于计算的近似表达式.本章主要考虑一阶初值问题的单步法和多步法，及其误差分析和单步法的稳定

2、性分析；介绍二点边值问题的差分法，打靶法和有限元法.一阶初值问题的基本形式是：二点边值问题的一般形式为：在讨论中我们总假定初值问题和边值问题的解存在唯一，初值问题是好条件的.§6.2初值问题的数值解法一、方法及其截断误差1.公式考虑微分方程初值问题：（6.1）设是区间的一个分划.所谓微分方程的数值解，即寻找方程在节点上的近似值.相邻2个节点间的距离称为步长.一般取为常数，即=，于是，将（6.1）的两端在区间上积分，得到=即=+对积分应用左矩形公式≈，得到离散的近似等式9=+或者=+（6.2）若利用右矩形近似公式≈得到相应的离散化近

3、似等式=+或者=+（6.3）从的初值开始，按（6.2）式逐点计算以后各点的上的值.因此（6.2）式称为显式公式.（6.3）式中因右端式子中含有待求函数值，不能逐步显式计算故称为隐式公式.如果将两式坐算术平均，就得到梯形公式：=+（6.4）公式（6.2），（6.3），（6.4）统称为差分公式，由于它们都是用去计算，故称它们为单步法.显式公式的具有明显的几何意义：在区间上用过以为斜率的直线=+，近似代替，用该直线与直线的交点的纵坐标=+近似代替.然后在区间上用过，以为斜率的直线=+近似代替，用该直线与直线的交点的纵坐标=+作为的近似值

4、.一般地设折线已推进到，则在区间上用过点，斜率为的直线9=+近似替代….依次类推，得到一条折线.因此显式公式有时又称折线法.2.隐式公式的计算对于隐式方法，如果是的线性函数则可显化计算.如，其隐式公式为=+，简单化简得：=，依此公式可计算各点处的函数值.但当是的非线性函数时，则相应的隐式公式不能显化，而需要通过其它的方法（比如迭代法）求解.对于隐式公式的求解，每前进一步都要进行若干次迭代，而且需要提供好的迭代初始值，使迭代尽快收敛.通常有两种方法：一是先由显式的公式提供一个迭代初值，再用隐式公式进行简单迭代.以梯形公式为例，其简单

5、迭代为：，（6.5）反复迭代直到满足精度但是要使这种迭代收敛，其步长应满足一定条件.这可以由关于满足条件得到.称函数关于满足条件，是指存在常数，使得对任意的，成立.于是由（6.4）与（6.5）得到=从而=≤≤…≤这说明，只有当，即迭代序列才收敛.二是可以采用所谓的预测-校正技术.其思想是在每步迭代前用显式方法预测一个值，然后用隐式公式校正一次（迭代一次）.如显式公式预测，梯形公式校正，其格式如下：9（6.6）再用近似替代.这等价于=+（6.7）公式（6.7）显然是一个显式的差分方程，称为改进的公式.注意这里按公式（6.7）计算得到

6、的实际上是真实的的一个近似，在实际应用中为了便于编程计算，可将公式（6.7）变形为（6.8）求解初值问题（取步长为0.1）解：不难求得该初值问题的准确解为，下面用显式公式及改进的公式分别计算并比较精度.用显式方法计算：显式公式的具体形式为=+=现将计算结果列于下表：0.01.00001.00000.00000.11.00000.99000.01000.20.98000.96080.01920.30.94800.91390.02690.40.88440.85210.03220.50.81360.77880.03480.60.7322

7、0.69770.03460.70.64440.61260.03170.80.55420.52730.02690.90.46550.44490.01381.00.38170.36790.0072如果采用改进的公式，其具体形式为：9将计算结果列于下表：0.01.00001.00000.00000.11.00000.98000.99000.99000.00000.20.97020.95120.96070.96080.00010.30.92230.90540.91380.91390.00010.40.85900.84510.85200.8

8、5210.00010.50.78390.77370.77880.77880.00000.60.70090.69470.69780.69770.00010.70.61400.61180.61290.61260.00030.80.52710.52860