现在数值分析课件科大 现代数值分析14 数值积分.ppt

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1、§3.2复化求积/*CompositeQuadrature*/Haven’twehadenoughformulae?What’supnow?Ohcomeon,youdon’tseriouslyconsiderh=(ba)/2acceptable,doyou?Whycan’tyousimplyrefinethepartitionifyouhavetobesopicky?Don’tyouforgettheoscillatorynatureofhigh-degreepolynomials!Uh-oh高次插值有Runge现象，故采用分段低次插值分段低次合成的Newton-Cotes复

2、合求积公式。复化梯形公式：在每个上用梯形公式：=Tn/*中值定理*/§3.2CompositeQuadrature复化Simpson公式：44444=Sn注：为方便编程，可采用另一记法：令n’=2n为偶数，这时，有§3.2CompositeQuadrature收敛速度与误差估计：定义若一个积分公式的误差满足且C0，则称该公式是p阶收敛的。~~~例：计算解：其中=3.138988494其中=3.141592502运算量基本相同§3.2CompositeQuadratureQ:给定精度，如何取n?例如：要求，如何判断n=？?上例中若要求，则即：取n=409通常采取将区间不断

3、对分的方法，即取n=2k上例中2k409k=9时，T512=3.14159202S4=3.141592502注意到区间再次对分时可用来判断迭代是否停止。§4龙贝格积分/*RombergIntegration*/例：计算已知对于=106须将区间对分9次，得到T512=3.14159202由来计算I效果是否好些？考察=3.141592502=S4一般有：Romberg序列Romberg算法：<?<?<?………………T1=)0(0TT8=)3(0TT4=)2(0TT2=)1(0TS1=)0(1TR1=)0(3TS2=)1(1TC1=)0(2TC2=)1

4、(2TS4=)2(1T§5高斯型积分/*GaussianQuadrature*/构造具有2n+1次代数精度的求积公式将节点x0…xn以及系数A0…An都作为待定系数。令f(x)=1,x,x2,…,x2n+1代入可求解，得到的公式具有2n+1次代数精度。这样的节点称为Gauss点，公式称为Gauss型求积公式。例：求的2点Gauss公式。解：设，应有3次代数精度。+101100)()()(xfAxfAdxxfx代入f(x)=1,x,x2,x3不是线性方程组，不易求解。§5GaussianQuadrature证明：“”x0…xn为Gauss点,则公式至少有2n+1次代数精度。

5、对任意次数不大于n的多项式Pm(x)，Pm(x)w(x)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立：0=0“”要证明x0…xn为Gauss点，即要证公式对任意次数不大于2n+1的多项式Pm(x)精确成立，即证明：设0x0…xn为Gauss点与任意次数不大于n的多项式P(x)（带权）正交。定理求Gauss点求w(x)§5GaussianQuadrature正交多项式族{0,1,…,n,…}有性质：任意次数不大于n的多项式P(x)必与n+1正交。若取w(x)为其中的n+1，则n+1的根就是Gauss点。再解上例：+101100)()()(xfAxfAdxx

6、fxStep1：构造正交多项式2设cbxxxaxxx++=+==2210)(,)(,1)(jjj53-=a0)(10=+dxaxx0),(10=jj=++-==++=1021102100))(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxxjjjj215910=-=cb即：§5GaussianQuadratureStep2：求2=0的2个根，即为Gauss点x0，x1Step3：代入f(x)=1,x以求解A0，A1解线性方程组，简单。结果与前一方法相同：利用此公式计算的值注：构造正交多项式也可以利用L-S拟合中介绍过的递推式进行。§5Gaussian

7、Quadrature特殊正交多项式族：①Legendre多项式族：1)(xr定义在[1,1]上，满足：由有递推以Pn+1的根为节点的求积公式称为Gauss-Legendre公式。②Chebyshev多项式族：211)(xx-=r定义在[1,1]上，Tn+1的根为k=0,…,n以此为节点构造公式称为Gauss-Chebyshev公式。注意到积分端点1可能是积分的奇点，用普通Newton-Cotes公式在端点会出问题。而Gauss公式可能避免此问题的发生。其它公式见教材p.