现在数值分析课件科大 现代数值分析13 数值积分.ppt

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1、代数精度牛顿—柯特斯公式高斯求积公式高斯—勒让德求积公式数值微分第八章数值积分与数值微分/*NumericalIntegrationanddifferential近似计算积分近似计算微分§1数值积分的基本概念1.数值积分的问题及解决方法在一元函数的微积分中，导数和定积分都是通过极限来定义的。从理论上说求在上的定积分，通过分割、近似、求和、取极限四步可得到定积分的精确结果，在数值积分中只需通过前三步求出积分的近似值即可。根据这一原理，我们可以在内取若干节点那么但这样计算精确程度可能很差，为了提高精确度我们可以选取适当的系数

2、来代替，则这就是数值积分公式。显然求积系数的选取和求积节点的选取有关。2.代数精度若对于任意不高于m次的多项式都准确成立，而至少有一个m＋1次多项式不成立，则称该求积公式具有m次代数精度。例1考察求积公式具有几次代数精度。解：考察为零次多项式的情况。例如左边,右边,公式成立.再考察为一次多项式时的情况，取左边,右边,公式也成立.再考察为二次多项式时的情况，取左边,右边,公式不成立，所以，该求积公式具有一次代数精度。积分公式代数精度检验方法:分别取,是我们验证代数精度常用的方法。例2选取适当的系数，使求积公式具有尽可能高的

3、代数精度。解：令，左边,右边;令，左边＝0,右边,于是有(1)令，左边＝0.667,右边于是有.(2)因此解得近似计算§3Newton-Cotes公式思路利用插值多项式则积分易算。在[a,b]上取ax0

4、阶多项式成立，则称此求积公式的代数精度为n。例：对于[a,b]上1次插值，有考察其代数精度。f(x)abf(a)f(b)梯形公式/*trapezoidalrule*/解：逐次检查公式是否精确成立代入P0=1：=代入P1=x：=代入P2=x2：代数精度=1§3.1Newton-CotesFormulae注：形如的求积公式至少有n次代数精度该公式为插值型（即：）当节点等距分布时：令Cotes系数注：Cotes系数仅取决于n和i，可查表得到。与f(x)及区间[a,b]均无关。§3.1Newton-CotesFormul

5、aen=1:TrapezoidalRule/*令x=a+th,h=ba,用中值定理*/代数精度=1n=2:Simpson’sRule代数精度=3n=3:Simpson’sRule,代数精度=3,n=4:CotesRule,代数精度=5,n为偶数阶的Newton-Cotes公式至少有n+1次代数精度。