现在数值分析课件科大 现代数值分析10 代数插值.ppt

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1、§2牛顿插值/*Newton’sInterpolation*/Lagrange插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数li(x)都需重新算过。将Ln(x)改写成的形式，希望每加一个节点时，只附加一项上去即可。????差商(亦称均差)/*divideddifference*/1阶差商/*the1stdivideddifferenceoffw.r.t.xiandxj*/2阶差商§2Newton’sInterpolation11101010111010],,...,[],,...,[],,...,[],...,,[],...,[++--+++--=--=kkkkkkkkkkkx

2、xxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxf(k+1)阶差商：事实上其中Warning:myheadisexploding…Whatisthepointofthisformula?差商的值与xi的顺序无关！§2Newton’sInterpolation牛顿插值/*Newton’sInterpolation*/12…………n11+(xx0)2+……+(xx0)…(xxn1)n1Nn(x)Rn(x)ai=f[x0,…,xi]§2Newton’sInterpolation注：由唯一性可知Nn(x)Ln(x)，只是算法不同，故其余项也相同，即实际计算过程为f(x0

3、)f(x1)f(x2)…f(xn1)f(xn)f[x0,x1]f[x1,x2]…………f[xn1,xn]f[x0,x1,x2]…………f[xn2,xn1,xn]f[x0,…,xn]xn1f(xn+1)f[xn,xn+1]f[xn1,xn,xn+1]f[x1,…,xn+1]f[x0,…,xn+1]x0x1x2…xn1xn§2Newton’sInterpolation等距节点公式/*FormulaewithEqualSpacing*/向前差分/*forwarddifference*/iiifff-=+1ikikikikffff1111)(-+---==向后

4、差分/*backwarddifference*/111----=ikikikfffi1iifff-=中心差分/*centereddifference*/其中当节点等距分布时:Moregivenonp.174.§2Newton’sInterpolation差分的重要性质：线性性质：例如若f(x)是m次多项式，则是次多项式，而差分值可由函数值算出：=-+-=Dnjjknjknfjnf0)1(=-+--=njnjkjnknfjnf0)1(其中/*binomialcoefficients*/函数值可由差分值算出：kjnjknfjnfD=+=0kkkhkfxx

5、f!],...,[00D=knkknnnhkfxxxf!],...,,[1=--kkkhff0)()(D=x由Rn表达式§2Newton’sInterpolation牛顿公式牛顿前差公式/*Newton’sforward-differenceformula*/牛顿后差公式/*Newton’sbackward-differenceformula*/将节点顺序倒置：设，则)()()(000xfkthtxNxNknknn=+==设，则)()1()()(0nknkknnnxfkthtxNxN--=+==注：一般当x靠近x0时用向前插值，靠近xn时用向后插值，故两种公式亦称为

6、表初公式和表末公式。§3埃尔米特插值/*HermiteInterpolation*/不仅要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。即：要求插值函数(x)满足(xi)=f(xi),'(xi)=f'(xi),…,(mi)(xi)=f(mi)(xi).注：N个条件可以确定阶多项式。N1要求在1个节点x0处直到m0阶导数都重合的插值多项式即为Taylor多项式其余项为一般只考虑f与f'的值。§3HermiteInterpolation例：设x0x1x2,已知f(x0)、f(x1)、f(x2)和f'(x1),求多项式P(x)满足P(xi)=f(xi)，i=0,1,2，且

7、P'(x1)=f'(x1),并估计误差。模仿Lagrange多项式的思想，设解：首先，P的阶数=3+=213)()()()()(=0iiixhx1f'xhxfxPh0(x)有根x1,x2，且h0'(x1)=0x1是重根。)()()(22100xxxxCxh--=又:h0(x0)=1C0h2(x)h1(x)有根x0,x2))()(()(201xxxxBAxxh--+=由余下条件h1(x1)=1和h1'(x1)=0可解。与h0(x)完全类似。(x)h1有根x0,x1,x