现在数值分析课件科大 现代数值分析07 函数逼近.doc

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1、第七章函数逼近/*Approximation*/在已知函数集合中，用简单函数来近似代替一个复杂的已知函数或一个仅知道有限个函数值的函数，是数值计算中最基本的方法之一。称为逼近函数，称为被逼近函数。函数集合中的元素（即函数）性质比较简单，易于计算。常见有某区间上的已知连续函数或多项式（如代数多项式、三角多项式）或有理分式函数等。用来“近似”代替，这种近似用什么标准来衡量？一般有两种衡量标准:(a)要求与之差在区间上的最大值小于某一标准，即用是不是很小来作为衡量标准，在这种意义下的函数逼近称为均匀逼近或一致逼近;(b)要求与之差的

2、平方在区间上的积分值小于某一标准，即用是不是很小来作为衡量标准，在这种意义下的函数逼近称为平方逼近或均方逼近。本章介绍V(x)是代数多项式情况下，在两种不同衡量标准下，如何寻求来近似代替。7.1内积与正交多项式/InnerProduct&OrthogonalPolynomial/7.1.1权函数/*WeightingFunction*/我们知道平均值的概念。一般地，若给定个非负实数，又已知正数且，则称数为数这个数的加权平均数，称为权系数。当时，即称为算术平均数。把平均值的权系数加以推广，即有权函数的概念。定义1设是区间上非负函

3、数，如果满足条件：1）存在；2）对上非负连续函数g(x)，若(7.1)则必有当时，则称为上的权函数。若中当或为无穷大或与均为无穷大时，上述积分为广义积分。7.1.2内积/*InnerProduct*/若已知与在点集上的函数值与，则定义与的内积为(7.2)其中为权系数。此内积称为带权系数的离散情形内积。若已知与在区间上的函数值，则定义与的内积为(7.3)其中为权系数，此内积称为带权系数的连续情形内积。在定理证明或推导的过程中，如没有具体指明权函数，则表示对任何权函数均成立。在具体问题的计算过程中，当没有确切指出权函数时，我们约定

4、权函数。容易验证内积具有如下性质：(1)(2)对任意实数有；(3)(4)若时，。注意在离散情形是指不全为零。7.1.3正交性/*Orthogonality*/对与，若内积，则称与正交。在离散情形，正交性相当于两个向量的正交性。在连续情形，正交性相当于对于给定的函数系，若有则称函数系是正交函数系。特别地，若,即有(7.4)则称函数系为标准正交系函数系。若函数系中为的次多项式函数时，则称为正交多项式系。特别地，函数系为（其中为的不超过次多项式）时，则称为次正交多项式系。利用内积定义函数的范数或模　　　　　　（7.5）容易验证它满足

5、范数应满足的三条性质：(1)当时，，(2)对任意实数有；(3)；由内积定义及范数，容易验证正交函数系线性无关，具有下述结论。定理1函数系中函数线性无关的充要条件为Gram矩阵（7.6）非奇异，即。证明对函数组，若有，则线性无关的充要条件为.必要性：假设，则线性代数方程组存在非零解向量，记之为，从而有即有由内积性质（1）可知。这与线性无关相矛盾。故。充分性若线性相关，则存在不全为零的数，使得用与上式进行内积则有即故是线性代数方程组的非零解。从而齐次线性代数方程组有非零解的充要条件为，这与相矛盾，故假设不成立。线性无关函数组的Gr

6、am矩阵称为度量矩阵，它是对称矩阵。由于当且仅当时才有等号成立。故有定理2线性无关函数组所确定的Gram矩阵是对称正定矩阵。7.1.4.正交多项式的性质下面讨论正交函数系为正交多项式系时的性质，在此我们假设正交多项式系中(x)的最高次项的系数为1.性质1（线性无关性）正交多项式系中任意m个函数线性无关（非负整数互不相同）。证明：若有，则用与上式内积（k=1,2,…..m）.则有而，故有=0（k=1,2,….m）,故线性无关。性质2表示所有次数不超过n次的代数多项式集合，由性质1知是的一组基，且对任何，有证明因为是的一组基，故=

7、。由于，从而当i=0,1,2,…,n而时有=0。故（7.7）性质3正交多项式系中的在区间(a,b)内有n个互不相同的根。证明：首先证明（n>0）在（a,b）内至少有一个实根，记为。反证法：若在（a,b）内无实根，则当时，>0或<0.不妨设<0，于是有。但是另一方面=，矛盾。因此在（a,b）内必有根。其次论证实根一定是单根。反证法：若为重根，则至少是二重根，于是一定存在着n-2次多项式使得多项式=.而、这与性质2的结论相矛盾，故在（a,b）内无重根。最近证明（n>0）在内有个实单根，反证法：若在内有m（m

8、于是在上存在一个在内不为零的n-m次多项式，使得从而这一值的符号与在（a,b）上的符号相同，这与性质2结论相矛盾，故在内只有个实单根。注：性质3仅在连续情形下给出证明，在离散情形下也成立。性质4正交多项式系中任何相邻三项之间有如下关系:;,，,证明：因为x为n+1次多项式，它