研究生数值分析(14)

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1、利用基本插值多项式容易得出满足插值条件的n次插值多项式插值多项式⑤称为拉格朗日插值多项式，记作⑤拉格朗日（Lagrange）插值多项式当n=2时,由⑤式可得三点插值公式这是一个二次函数。用二次函数代替函数，在几何上就是用通过三点的抛物线曲线y=f(x)，故三点插值又称为抛物线插值。近似近似代替如图通过n+1个节点的n次插值多项式，在节点处有在其它点上均是f(x)的近似值。记称为插值多项式的余项。就是用近似替代的截断误差。1插值余项定理1若f(x)在区间[a,b]上有直到n+1阶导数，为f(x)在n+1个节点上的

2、n次插值多项式，则对任何有其中且依赖于x。⑥证明当给定的x恰是某个节点时，两边都为0，定理的结论显然成立。今设给定的节点x异于所有的节点，构造辅助函数因都在[a,b]上n+1次可微，故函数g(t)也如此。显然，函数g(t)有n+2个互异的零点由Rolle(罗尔)定理可知,在区间[a,b]内至少有n+1个互异的零点。再对函数使用Rolle(罗尔)定理，可知在[a,b]内至少有n个互异的点使如此反复使用Rolle(罗尔)定理，最后可知至少存在一点，使得ξ显然与所给的x有关。由于因而有其中且依赖于x。证毕。因而特别当

3、时，几点说明10当f(x)本身是一个次数不超过n次的多项式时，有20余项的表达式⑥只有在f(x)的n+1阶导数存在时才能使用，由于ξ不能具体求出，即有⑦因此一般常利用求出误差限，例1已知特殊角的正弦函数值用一次插值多项式，二次插值多项式近似解：若取和为节点作一次插值，得，并用此求出则为节点插值，得则若取为节点，作二次插值，得则取现在应用⑦式来估计误差。并把度化为弧度，得所以先求线性插值的误差同理，由得由有可以看出用和两点作线性插值要比用和作线性插值精确。这是因为点一般来说，内插比外推精度要高。的内部，这种插值称

4、为内插。其次，二次插值要比一次插值精度要高。事实上，在区间否则，称为外推。例2给定函数表如下…0.10.20.30.40.5……1.10521.22141.34991.49181.6487…试用线性插值与抛物线插值求题目中介于0.2和0.3之间，解：为了减少插值计的截断误差，应用内插法的近似值，并估计截断误差。相应地因此做线性内插时取由线性插值公式，得所得近似值为由线性插值余项公式这里，所以将代入，得类似地，在抛物线插值时，取所得的近似值和截断误差为实际上，的准确值为1.329762…。练习已知下列对数函数表x

5、…0.50.60.7…lnx…-0.693147-0.510826-0.356675…分别用线性插值和抛物线插值计算ln0.54的近似值。