研究生数值分析(13)

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1、数值分析第5章插值与逼近主讲老师:雷鸣插值与逼近都是指用某个简单函数在满足一定条件下，在某个范围内近似代替另一个较为复杂或者解析表达式未给出的函数，以便于对后者的各种计算或揭示后者的某些性质。第5章插值与逼近1问题的提出在科学研究和工程计算中，经常要研究变量之间的函数关系，但是在很多情况下，又很难找到具体的解析表达式，往往只能通过测量或者观察，获得一张数据表，即§1代数插值这种用表格形式给出的函数，无法求出不在表中的点的函数值，也不能进一步研究函数的分析性质，如函数的导数及积分等。为了解决这些问

2、题，我们设法通过这张表格求出一个简单的函数P(x)这种求P(x)的方法称为插值法。使定义1设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，且上的值为，若存在一个简单的函数p(x)，使成立，则称p(x)为f(x)的插值函数。为插值节点；为插值条件；f(x)为被插值函数;2插值问题的概念已知在点其中,[a,b]为插值区间；从几何上说，插值法就是求一条曲线y=P(x)使它通过已知的(n+1)个点并取如图根据不同要求，可以选择不同的插值函数。其中最简单的一类是多项式插值。多项式插值的基础问题是：根据给出的函

3、数表，求一个不高于n次的代数多项式满足插值条件②的多项式①，称为函数f(x)在节点上的n次插值多项式。①使②特别当n=1时，所求的一次插值多项式为通过两点的直线，称相应的插值问题为线性插值；函数插值是计算方法的重要工具，我们常常借助于插值函数P(x)来计算被插值函数f(x)的函数值、零点和积分等的近似值。当n=2时，所求的二次插值多项式为通过三点的抛物线，称相应的插值问题为抛物线插值。从插值多项式的定义可知，要求满足插值的n次插值多项式①只要把②代入①，即可得(n+1)个方程3插值多项式的存在唯

4、一性条件式②的n+1元线性方程组③这是关于其系数行列式是n+1阶范德蒙德（Vandermonde）行列式，由线性代数知识因节点互异，故D≠0，方程组有唯一解。定理1当插值节点互异时，满足插值条件②的n次插值多项式①存在且唯一。于是有我们在讨论插值多项式的存在唯一性时，已经提供了一种求插值多项式的方法，即通过求解线性方程组4插值多项式的求法由于这种求法计算工作量大，而且不能获得简明的表达式，给理论研究和应用带来不便。通常我们采用的是构造方法，直接构造一个满足条件的n次插值多项式。下面，我们介绍这种

5、简便实用的方法。的系数来确定插值多项式当n=0时为因而当n=1时，为5基本插值多项式解得因而若令则有这里的和可以分别看作满足及的一次插值多项式。插值条件这两个插值多项式称为一次插值的基本插值多项式。表明一次插值多项式可以通过基本插值多项式和的线性组合得到，且系数恰为所给数据和。表达式现在来讨论n次多项式的插值问题。为了得到n次多项式插值，我们先求一个n次多项式，满足即其中，所以含有如下n个因子：于是可以写成其中为待定常数。由于为n次多项式的n个零点，于是将它代入到④，得式中称为n次插值问题的（第

6、k个）基本插值多项式。，得到由