数值分析教教案13

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1、第3章常微分方程初值问题数值解法含有未知函数导数（或微分）的方程称为微分方程。未知函数为一元函数的微分方程叫做常微分方程。未知函数为多元函数，从而有多元函数偏导数的方程叫做偏微分方程。微分方程中各阶导数的最高阶数叫微分方程的阶，本章着重讨论一阶常微分方程初值问题y=y（x0）=y（）的数值解法，最后对微分方程组和高阶方程的数值解法进行了讨论，其基本思想和一阶常微分方程完全一样的。数值解是找解y（x）的近似值，因此，总是假设解在区间[⑦切上是存在而且唯一的，并且有充分的光滑度，要求g（兀刃也充分光滑，譬如关于满足李普希兹（Lipshitz）条

2、件，以保证初值问题的解存在且唯一。常微分方程初值问题(3-1)设x（）e[a.b],g（兀J）对X连续且关于y满足李普希兹条件，存在常数L,使g（兀,%）-g（x，歹2）<厶卜1-J2（3-2）对所有乂0丘[。，6,及任何实数儿,力均成立，则初值问题在上有唯一解。虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只有解一些特殊类型的方程，求解从实际当中得出来的微分方程主要靠数值解。即使用解析方法得到的解析解，也常常用数值方法得到数值解，例如方程y=l-2xy

3、方法，如果需要计算许多点处的y值，则其计算量也可能很大。再如，方程Xy(0)=1的解丁=幺,虽然有表可查，但对于表上没有给出的值，仍需要用插值方法计算。在实际问题中得到的常微分方程初值问题求不出解析解的表达式时，只能求出其近似解，求初值问题近似解的一类数值方法是离散变量法，即采用步进的方式求出方程的解析解yM在区间⑺上］离散点列+上近似值％,即数值方法给出的解是在一些离散点上的近似值，这里％是兀-1到心的步长，均为正数，一般说来，在计算过程中可以改变，但为叙述方便,假设％不变,并略去下标，记为力。这样把一个连续型问题转化为一个离散型问题，这

4、个过程称为离散化过程，离散化过程是把连续的微分方程初始化为一个离散的差分方程初值问题,然后将差分方程初值问题的解作为微分方程的解y(x)在％=兀处的值丁(兀)的近似值。这样的离散变量又称为差分方法，对应的离散方程称为差分方程或差分格式。常微分方程初值问题的数值解法舟殳分为两大类:—步法和多步法。一步法是在计算兀+1时，只用兀+1就行了。其代表是欧拉法。多步法是在计算X+1时，除了用到"+1,无和几以外，还要用到即前面比步的值，其代表是亚当斯法。xi-p»yi-p(P=1,2,…,k),3.1常微分方程数值解的基本原理实际遇到的常微分方程，多

5、数是很难找到解析解的。因此，必须学会用数值解法求出常微分方程的特解，即找出表格或图示表示的解函数，近似满足微分方程和初始条件。3.1.1求常微分方程与一阶微分方程组1-高阶微分方程与一阶微分方程组一般的高阶微分方程总可化为一阶微分方程组来求解。例如，加阶微分方程初值问题：1（兀0）二讯（无0）=%，•••，严7（%）二Xn-1只要引入新变量X="丁2二胪，…，％”，就可以变换成一阶微分方程组：V：=%<•ym-~ym初值条件为:x(x°)=ydo)=儿2So)=Vdo)=Vi，…，儿(％o)=v(m_1)do)=儿一】2.一阶微分方程数值

6、解的基本原理因为高阶微分方程可以变换成多个一阶微分方程构成的常微分方程组，所以只讨论常微分方程初值问题的数值解。求一阶常微分方程的数值解，就是找出用表格法或图示法表示的解函数找出与其对应的函数值x=y(xz)o为此先把自变量离散化成兀1，兀2厂・・,,如表3T所示。表3T函数y=f(x)的表格表示兀xQ-a兀1兀2■■■XikJ■■■Xn=by(x)儿『2■■■x+i■■■yn巳")=g("y(兀))，兀e[a.b]使它们满足下述方程：dx(3-4)y(a)=Jo不妨设自变量X的节点兀(i=0丄厶…曲)为°=兀0＜兀1＜X2，，，＜-Xz＜

7、，，，＜XH=b,这些节点的分割是任意的。但为了方便起见，通常选取相邻两个节点的距离力是等长的，即步长h=兀+1—兀为定值，这时兀=x0+z/z,(z=o,l,2,---,n)0然后，从已知的xQ=a,y(a)=y(x0)=yQ点出发，设法求出坷点的函数值近似值力匕丁(列)，再由已知的儿，力求出以此类推，由儿』1，九求出儿，……o若能找出这样的递推公式，就可以求出在自变量各个节点可上满足或近似满足式(3-4)的函数值儿，也就是求出了式(3-4)的数值解几Qy（兀）（心0」2…曲）。可见，求一阶常微分方程初值问题的数值解，就是把连续性方程（3

8、-4）的求解变成求自变量在离散节点兀上的函数近似值兀~歹（兀）。解决这个问题有多种方法，常用的有泰勒展开法、数值积分法和数值微分法等。3.1.2泰勒展开法如果常微分方程（3-4）