数学分析2综述

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1、数学分析综述第六章微分中值定理及其应用6.1微分中值定理一、罗尔定理若函数f满足如下条件：1、f在闭区间［a,b］上连续;2、f在开区间(a,b)内可导;3、f(a)=f(b);则在(a,b)内至少存在一点，使得f()=0.二、拉格朗日中值定理若函数f满足如下条件：1、f在闭区间［a,b］上连续;2、f在开区间(a,b)内可导;则在(a,b)内至少存在一点，使得f()=・三、柯西中值定理若函数f和g都满足如下条件：1、f在闭区间［a,b］上都连续;2、f在开区间(a,b)内都可导;3、F(x)和g，(x)不同时为零;4、g(a)=g(b);则在(a,b)内存在一点，使得6.2单调性及其判定定理

2、设f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上递增(减)的充要条件是：f5(x)>0(<0).推论设函数在区间I上可微，若f'(x)>0(f'(x)v0),则f在I上严格递增(严格递减)。6.3洛必达法则定理(0/0型不定式极限)若函数f和g满足:1、==0;2、在点的某空心邻域内两者都可导，且g'(x)H0;3、(A可为实数，也可为8或±8)。(8/8型不定式极限)若函数f和g满足：1、==°°；2、在点的某空心邻域内两者都可导，且g'(x)H0；3、(A可为实数，也可为8或±8)。其余的不定式极限经过简单变换,它们T殳均可转化为0/0型或8/8型不定式极限.注：(1)不定式极限经常要用到等价无

3、穷小。(2)对数因子不下放，反三角函数不下放。(3)对于数列的不定式极限，可利用函数极限的归结原则，通过先求相应形式的函数极限而得到结果。6.4泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式若函数f在点存在直至n阶融，则有f(x)=f()+『()()++二、带有拉格朗日余项的泰勒公式(泰勒定理)若函数f在⑻b］上存在直至n阶的连续导函数，在(a,b)内存在(n+1)阶导函数,则对任意给定的x£［a,b］,至少存在一点，使得f(x)=f()+『()()++.6.5函数的极值与最大(小)值一、极值的第一充分剑牛设f在点连续，在某邻域1、若当x曰，f(x)「则f在点;2、若当x曰,，贝!Jf在点；二、极值的第二

4、充分条件设f在某邻域U()内一阶可导，在x二处二阶可导，且f()=0,()H0.1、若()<0,则f在点；1、若()>0,贝［Jf在点.三、极值的第三充分条件设f在的某邻域内存在直到n-1阶导函数，在n阶可导，且=0(k=1,2,……,n-1),⑴当n为偶数时，f在取得极值，且当时取得极大值，时取极小值.⑵当n为奇数时zf在处不取极值。四、最大值与最小值若函数f的最大(小)值点区间(a,b)内，则必定是f的极大(小)值点。又若f在可导，则还是一个稳定点。所以我们只要比较f在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数，就能从中找到f在［a,b］上的最大值与最/」值。6.6函数的凸性与拐点—、定义设

5、f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点和任意实数U(0,1)总有f(1-))f(1-))则称f为I上的凸函数。反之，如果总有f(1-))f(1-))则称f为I上的凹函数。二事介剑牛1、f为丨上的凸函数；2、F为I上的增函数；3、对I上的任意两点，，旬f(+f'(()・三、充要条件设f为区间I上的二阶可导函数，则在I上f为凸(凹)函数的充要条件是(x)>o((x)0(i=l,2“有f(s五、关于拐点的定义和定理1、定义：设曲线y=f(x)在点(f(处有穿过曲线的切线，且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸和

6、严格凹的,这是称点(f(为曲线y=f(x)的拐点。2、定理：若f在二阶可导，则(f(为曲线y=f(x)的拐点的必要条件是()=0o设f在可导，在某邻域(内二阶可导。若在上()的符号相反，则(f(为曲线y=f(x)的拐点。注：若(f(是曲线戶f(x)的一个拐点zy=f(x)的导数不一定存在。6.7函数图像的讨论作函数图像的一般程序:1、求函数的定义域;2、考虑函数的奇偶性、周期性；3、求函数的某些特殊点，如与两个坐标的交点，不连续点，不可导点等；4、确定函数的单调区间，极值点，凸性区间以及拐点；5、考察渐近线；6、综合以上讨论结果画出第七章实数的完备性7.1区间套定理1、定义：设闭区间列｛[]｝

7、具有如下性质:(i)[][],n=1,2,...(ii)=OZ则称｛[]｝为闭区间套，或简称区间套。2、区间套走理：若｛[]｝是T区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得曰],n=1,2,...g卩,n=1,2,...推论:若e[](n=1,2,...)是区间套｛[]｝所确定的点，则对任给的>0,存在N>0,使得当n>N时有[]U(；)・注：区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成