数学分析试题2

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1、（三十二）数学分析试题（二年级第一学期）一叙述题（每小题10分，共30分）1叙述含参变量反常积分£/（兀,y）dx—致收敛的Cauchy收敛原理。2叙述Green公式的内容及意义。3叙述n重积分的概念。二计算题（每小题10分，共50分）1.计算积分/其中C为椭圆2/+3）2=1,沿逆时针方向。2.已知z=fy）,其屮/（w,v）4?在着关于两个变元的二阶连续偏导数，求z关于兀,），的二阶偏导数。2223.求椭球体厶+・+二=1的体积。/b2c24.若/为右半单位恻周，求jlyIdso5.计算含参变量积分1（a）=£（

2、-2acosx+a2）dx（pz

3、

4、£fx,y）dx<£.ye［c.d］成立

5、。2Green公式：设Q为平面上山光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。如果函数P（x,y）,QCx,y）在D上具有连续偏导数，那么㈣+Qdy=J(学oDDCXdP)dxdy,其中6Q取正向，即诱导正向。Green公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分的关系。3.设。为上的零边界区域，函数u=/（x）在G上有界。将。用曲面网分成〃个小区域△Q1,AQ2,...,AQ/i（称为Q的一个分划），记△匕为的体积,并记所有的小区域△Qi的最人直径为2。在每个AG,.上任取一点旺，若兄趋于零时，和式1=

6、£心地叫1=1的极限存在且与区域的分法和点乞的取法无关，则称/（兀）在G上可积，并称此极限为/（X）在有界闭区域。上的〃重积分，记为QT1=1计算题（每小题10分，共50分）i解令/:x=^cos/,y=—sinr,3-2-ydx+4y2xdy一ydx?3*+4b『迪(cosh+sir?M=迴厂」)63dudz.dvdz.—=z+x—,—=—,dxdxdxdxdudz一=x一dv6zt—=1•dydy?8ydydz_dfdudfdvdxdudxdvdxdz_dfdudfdvdydudydvdyd2z_dfd2u8x2du

7、dx2df(du^du2d2f(dv^(Sr丿、2dz_dfd2ud2fdfd2vd2fdxdydudxdydu2<5x)dvdxdydv24丿/d2z^dfd2u

8、82f(duX

9、dfd2v^d^fdvdy2dudy2du2dvdy2创？(彷丿d2zdfd2u夕dx2dudx2°P=釘2生du(dxf(duV⑹丿d2z^+X—7加丿du+空空+2dvdx2dv~2+du2

10、dv(办2丿6v213兀dfd2u,立〔迦丫du2l勿丿+空空亠—+dy2dudy2Sf(头、dudy^Jdu^d

11、y8fa2vH7+dvdy^x—F5v2I。儿+堂与+»dv0)厂Sr人◎丿dv}业丫釦+型旦+Idx人dy)dvdxdydv讥、d2f(1Jdxdy丿du2<_8zZ+X~di+逆旦dvdxdyZ=cjl_[(arcos0)a2d2zdfd2ud2f=1—dxdydudxdydu2df(8z=—+兀ou^dyd2fdz(dz>dv2去丿3解由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以8即可。作广义极坐标变换x=a厂cos。，y=brsin0(«>0,/?>050

12、x,y)_acosO-arsin0DUXyry0hsin3hrcos0=abr,QO,y)DgdrdO于是

13、v=Jp(x,y)daxy=JJz(r,&)J6yh=dO-r2-abrdr^abc^r^i-r2dryabc((一£7l-r2)6/(1-r2)*•評C[

14、(—血]玲叽所以椭球体积ds所以dxy—dxIBV=—Ttabco34解/的方程为：x2+)?2=l,x>0。由y'ds=±^1+y2dx=±一〃.dx符号的选取应保证dsno,在圆弧段AC上，山于dx>0,故fdxcis=——而在圆弧段CB上,由Tdx

15、故dx5解1(a)=£(l-2acosx+a2)dxo当avl时，山于1-2ucosx+ci~nl-2a

16、+a~=(1-”

17、)・>0,故ln(l-2dcosx+a?)为连续函数冃•具有连续导数，从而可在积分号下求导。m=f「管心2。“山-2acosx+cr(2iAdx[aj1+—dx(l-2acosx+tr)兀