数学分析考试题2.pdf

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1、第一讲微积分思想的产生与发展历史在微积分产生之前，数学发展处于初等数学时期。人类只能研究常量，而对于变量则束手无策。在几何上只能讨论三角形和圆，而对于一般曲线则无能为力。到了17世纪中叶，由于科学技术发展的需要，人们开始关注变量与一般曲线的研究。在力学上，人们关心如何根据路程函数去确定质点的瞬时速度，或者根据瞬时速度去求质点走过的路程。在几何上，人们希望找到求一般曲线的切线的方法，并计算一般曲线所围图形的面积。令人惊讶的是，不同领域的问题却归结为相同模式的数学问题：求因变量在某一时刻对自变量的变化率；因变量在一定时间过程中所积累的变化。前者导致了微分的概念；后者导致了积分的概念。两者都包含了极

2、限与无穷小的思想。1．极限、无穷小、微分、积分的思想在中国古代早已有之公元前4世纪，中国古代思想家和哲学家庄子在《天下篇》中论述：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。”其中大一和小一就是无穷大和无穷小的概念。而“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”更是道出了无限分割的极限思想。公元3世纪，中国古代数学家刘徽首创的割圆术，即用无穷小分割求面积的方法，就是古代极限思想的深刻表现。他用圆内接正多边形的边长来逼近圆周，得到了.3141024<π<.3142704，并深刻地指出：“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”1我国南北朝时期的数学家祖暅（中国古代数学家祖冲之之

3、子）发展了刘徽的思想，在求出球的体积的同时，得到了一个重要的结论（后人称之为“祖暅原理”)：“夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异。”用现在的话来讲，一个几何体(“立积”)是由一系列很薄的小片(“基”)叠成的；若两个几何体相应的小片的截面积(“幂势”)都相同，那它们的体积(“积”)必然相等。利用祖暅原理求球体的体积：取一个几何体为上半球体2222222{xyzRz++≤,≥0}；将圆柱体{x+yR≤，0≤z≤R}减去（即挖去）222倒立的圆锥{x+≤yz，0≤z≤R}视为另一个几何体。则对任意的0≤≤zR，过(0,0,)z点作水平截面，得到的截口面积相等，都为2243π(Rz−)，由此得到球体

4、的体积为VR=π。32．十七世纪前微分学与积分学的发展历史公元前5世纪，古希腊数学家安提丰（Antiphon）创立了“穷竭法”，认为圆内接正多边形当边数不断增加，最后多边形就与圆相合。公元前2世纪，古希腊数学家阿基米德（Archimedes）对“穷竭法”作出了巧妙的应用，他在《论抛物线求积法》中用“穷竭法”求抛物弓形的面积，他构造一系列三角形使它们的面积和不断接近抛物弓形的面积，这就是极限理论的最初形式。在《论球和柱体》一书中，阿基米德首先得到了球和球冠的表面积、球和球缺的体积的正确公式。阿基米德的著作代表了古希腊数学的顶峰。1615年，德国数学家开普勒（J.Kepler,1571-1630）

5、用无穷小微元来确定曲边形的面积与体积。他把圆看作边数无限多的多边形，圆2周上每一点看作是顶点在圆心高等于半径的极小等腰三角形的底，于是圆面积就等于圆周长与半径乘积之半。他把球看作面数无限多的多面体，球面上每一点看作是顶点在球心高等于半径的极小圆锥的底，于是球体积就等于球表面积与半径乘积之三分之一。他还用无穷小方法精确地计算出酒桶的体积，并写了《测量酒桶体积的新科学》，书中包含了87种不同的旋转体的体积计算。开普勒最重要的贡献是提出了行星运行三大定律：（1）行星在椭圆轨道上绕太阳运动，太阳在此椭圆的一个焦点上。（2）从太阳到行星的向径在相等的时间内扫过相等的面积。（3）行星绕太阳公转周期的平方与

6、其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。可以说这是天文学上划时代的贡献，也是数学史上重要的里程碑。牛顿就是应用开普勒的行星运行三大定律，通过严格的数学推导，发现了万有引力定律。为了确定第二定律，Kepler将椭圆中被扫过的那部分图形分割成许多小的“扇形”，并近似地将它们看成一个个小的三角形，运用了一些出色的技巧对它们的面积之和求极限，成功地计算出了所扫过的面积。在其卓有成效的工作中，已包含了现代定积分思想的雏形。积分学的历史可追溯至古希腊，它跨越了二千多年历史。而微分学的历史相对要短得多，这是因为积分学研究的问题是静态的，而微分学研究的问题是动态的，它涉及到运动。直到17世纪，微分学才得到重大突破。微

7、分学主要来源于两个问题的研究：曲线的切线问题与函数的极大、极小问题。法国数学家费尔马（P.Fermat,1744-1825）在这两个问题上作出了主要贡献。费尔马在处理这两个问题时，都是3先对自变量取增量，再让增量趋于零，这就是微分学的本质所在。费尔马也在积分学方面做了许多工作，如求面积、体积、重心等问题。但可惜的是他没有发现微分学与积分学这两类问题之间的基本联系。另一位已经走到了微积分基本定理的门