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1、浅谈多项式研究学号：班级：姓名：摘要：多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，是代数式恒等变形的一个重要组成部分，也是处理数学问题的重要手段和工具•因式分解在代数式的运算、解方程等方面有极其广泛的运用。关键词：多项式恒等定理因式分解初等数学1.多项式的历史多项式的研究，源于“代数方程求解”，是最古老数学问题之一。有些代数方程，如x+1二0,在负数被接受前，被认为是无解的。另一些多项式，如f(x)=x2+1,是没有任何根的——严格来说，是没有任何实数根。若我们容许复数，则实数多项式或复数多项式都是有根的，这就是代数基本定理。能否用根式求解的方法，表达出多项式的根，曾经是文艺复兴后欧洲数学主
2、要课题。一元二次多项式的根相对容易。三次多项式的根需要引入复数来表示，即使是实数多项式的实数根。四次多项式的情况也是如此。经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般方法，终于在1824年阿贝尔证明了这种一般的解法不存在，震撼数坛。数年后，伽罗华引入了群的概念，证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法，其理论被引申为伽罗瓦理论。伽罗瓦理论也证明了古希腊难题三等分角不可能。另一个难题化圆为方的不可能证明，亦与多项式有关，证明的屮心是圆周率乃一个超越数，即它不是有理数多项式的根。1.多项式的一般概念给一个环R（可以是实数环，复数环或其他）及一个变量x,则多项式是以下代数式：f
3、1工'=伉0+。1丁+•••+dn—iJCn+CLnXn,当中aO,•:an是R的元素。用为表达法，有畑=i=0容易证明，多项式的和或积都是多项式，即多项式组成一个环R[x],称为R上的（一元）多项式环。（注：在最一般的定义，a2x.xa2及axa可以当作是不同的多项式，是不可置换环的例子。）对于多变量多项式，我们可以类似方式定义。一个有n个变量的多项式，称为n元多项式。通常以R[x,y,z]表示R为系数环，x,y及z为变量的多项式环。在用九…卫』中，谱…请称为单项式，其中aGR是系数而住切・・・）饥为非负整数，是④切・・・卫兀的次数。住1际是这个单项式的次数。2.1多项式的项数若多项
4、式以最少的单项式之和呈现，则每一个单项式都被称为此多项式的项，而项的数冃称为项数。例如多项式"-12的项数是四，故称为四项式。当屮的c3—一y、2工、5、12、都是此多项式的项。以上例子中的多项式可以写成四个以上单项式的和，如u+2t+5——=v3+3t—t+5——912&十12是五个单项式的和。是以必须虽调最少的单项式Z和o另外的例子是工-1°共有二项，此多项式称二项式。3C(注：若把"+$+12看作成在R[c][x,y]=(R[c])[x,y]中c.Of35—一的多项式，则它只是三项式，分别是卩、2応及12。)若是未知数X、Y、Z等若出现在分母里、根号里或是绝对值中，就不能定义为“
5、多项式”O例如：—丁23王十’，因为出现在分母里，所以不是多项式。站+h+3,因为出现在根号里，所以不是多项式。怡
6、+*+3,因为出现在绝对值里，所以不是多项式。2.2变式与常数项多项式中含有变量的项称为变项，祇有数字的项称为常数项。例如”3斗2斗5_上_3_—多项式:"12屮的y、2工、12、都是此多项式的变项。而5是常数项。y+2不+5———（注：若把"12看作成在R[c][x,y]=（R[c]）[x,y]中c的多项式，则5_12才是常数项。）2.3多项式的“元”多项式中的变量种类称为元，各种变量以各字母表达（注:通常是X、y、z）,—个多项式有n种变量就称为n元多项式。”6y3多
7、项式的次数为三。因而此多项式可称为三元三次四项式。y称为C三次项，2工及巨称为一次项或线性项，而5是0次项或常数项。又例如多项式工+g+3,y与忍二项都是一次方，而常数项3是零次方。故此多项式的次数为一。而此多项式项数为三，可称为一次三项式。常数项3是零次方因为可被视为是3x屮。而任何非零数字零次方都是1,故3x/;=3xl=3,常数项的次数都为0。+5t7——+例如：12屮有如9二元，是二元多项式。因有四项，可称二元四项式。2.4多项式的次数多项式中次数最高的项的次数,即此多项式的次数。nC.153例如多项式：12中9的次数最高，有三次方，故此又例如cb3+3犷的首项是五次，次项是四
8、次，所以是个三元五次多项式。(注：若把具3+3『看作成在R[c][x,y]=(R[c])[x,y]中的多项式，则第一项是三次而系数为c2,笫二项是四次，是个二元以次多项式。)多项式P的次数，记作deg(p),由英语degree而来。0=Ox-1=0x°=Ot2=所以0这一多项式不计次数，故称为零多项式。常数多项式分为零次多项式和零多项式。所谓零次多项式是指每-个项(常数项除外)的系数都是0,而零多项式则指每一项的系数(包括常数项)都是0。1次多
