初等代数论文 浅谈多项式研究

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1、浅谈多项式研究学号：班级：姓名：摘要：多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，是代数式恒等变形的一个重要组成部分，也是处理数学问题的重要手段和工具.因式分解在代数式的运算、解方程等方面有极其广泛的运用。关键词：多项式恒等定理因式分解初等数学1.多项式的历史多项式的研究，源于“代数方程求解”，是最古老数学问题之一。有些代数方程，如x+1=0，在负数被接受前，被认为是无解的。另一些多项式，如f(x)=x²+1，是没有任何根的——严格来说，是没有任何实数根。若我们容许复数，则实数多项式或复数多项式都是有根的，这就是代数基本定理。能否用根式求解的方法，表达出多项式的根，曾经是文艺复兴后欧洲数学主要课题。

2、一元二次多项式的根相对容易。三次多项式的根需要引入复数来表示，即使是实数多项式的实数根。四次多项式的情况也是如此。经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般方法，终于在1824年阿贝尔证明了这种一般的解法不存在，震撼数坛。数年后，伽罗华引入了群的概念，证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法，其理论被引申为伽罗瓦理论。伽罗瓦理论也证明了古希腊难题三等分角不可能。另一个难题化圆为方的不可能证明，亦与多项式有关，证明的中心是圆周率乃一个超越数，即它不是有理数多项式的根。2.多项式的一般概念给一个环R（可以是实数环，复数环或其他）及一个变量x，则多项式是以下代数式：，当中a0, …,

3、 an是R的元素。用Σ表达法，有容易证明，多项式的和或积都是多项式，即多项式组成一个环R[x]，称为R上的（一元）多项式环。（注：在最一般的定义，a2x、xa2及axa可以当作是不同的多项式，是不可置换环的例子。）对于多变量多项式，我们可以类似方式定义。一个有n个变量的多项式，称为n元多项式。通常以R[x,y,z]表示R为系数环，x，y及z为变量的多项式环。在中，称为单项式，其中a∈R是系数而为非负整数，是的次数。是这个单项式的次数。2.1多项式的项数若多项式以最少的单项式之和呈现，则每一个单项式都被称为此多项式的项，而项的数目称为项数。例如多项式的项数是四，故称为四项式。当中的、、、、都是此

4、多项式的项。以上例子中的多项式可以写成四个以上单项式的和，如是五个单项式的和。是以必须强调最少的单项式之和。另外的例子是共有二项，此多项式称二项式。（注：若把看作成在R[c][x,y]=(R[c])[x,y]中的多项式，则它只是三项式，分别是、、及。）若是未知数X、Y、Z等若出现在分母里、根号里或是绝对值中，就不能定义为“多项式”。例如：·，因为出现在分母里，所以不是多项式。·，因为出现在根号里，所以不是多项式。·，因为出现在绝对值里，所以不是多项式。2.2变式与常数项多项式中含有变量的项称为变项，祇有数字的项称为常数项。例如多项式:中的、、、都是此多项式的变项。而是常数项。（注：若把看作成在

5、R[c][x,y]=(R[c])[x,y]中的多项式，则才是常数项。）2.3多项式的“元”多项式中的变量种类称为元，各种变量以各字母表达(注:通常是x、y、z)，一个多项式有n种变量就称为n元多项式。例如：中有、二元，是二元多项式。因有四项，可称二元四项式。2.4多项式的次数多项式中次数最高的项的次数,即此多项式的次数。例如多项式：中的次数最高，有三次方，故此多项式的次数为三。因而此多项式可称为三元三次四项式。称为三次项，及称为一次项或线性项，而5是0次项或常数项。又例如多项式，与二项都是一次方，而常数项是零次方。故此多项式的次数为一。而此多项式项数为三，可称为一次三项式。常数项是零次方因为可

6、被视为是。而任何非零数字零次方都是1，故，常数项的次数都为0。又例如的首项是五次，次项是四次，所以是个三元五次多项式。（注：若把看作成在R[c][x,y]=(R[c])[x,y]中的多项式，则第一项是三次而系数为c2，第二项是四次，是个二元四次多项式。）多项式p的次数，记作deg(p)，由英语degree而来。，所以0这一多项式不计次数，故称为零多项式。常数多项式分为零次多项式和零多项式。所谓零次多项式是指每一个项（常数项除外）的系数都是0，而零多项式则指每一项的系数（包括常数项）都是0。1次多项式又称为线性多项式。多项式中的一次项又称为线性项。2.5多项式的升幂及降幂排列多项式可依各单项式元

7、的次数排列。次数从低到高是升幂排列。例如：以下多项式，从排到次数从高到低是降幂排列。例如：以下多项式，从排到若一多项式为多元多项式，可依照其中一元排列。例如:是依X的次数排列。亦可以y的次数排列。例如:3.多项式的恒等定理多项式恒等定理在多项式代数中占有非常重要的地位.对于形式表达式,多项式与恒等即:除去系数为零的项外,同次项系数全相等.从函数的观点考察,数域上一个次数不超过的非零多项式在中至多有