［推荐］--函数的综合运用

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1、第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数y=f(x)(xg£>),把使.f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(xeD)的零点。2、函数零点的意义：两数y=/(%)的零点就是方程/«=0实数根，亦即函数y=/(%)的图象与兀轴交点的横处标。即：方程/(x)=0冇实数根o函数y=/(x)的图象与无轴冇交点o函数y=/(x)有零点.3、函数零点的求法：求函数y二/(兀)的零点：%1(代数法)求方程f(x)=0的实数根；%1(儿何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函

2、数y=/(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.4、二次函数的零点：二次函数y=ax2+bx+c(aH0).1)A>0,方程ax2+bx+c=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴冇两个交点，二次函数有两个零点.2)△=(),方程ax2+hx-^c=0有两和等实根(二重根)，二次函数的图象与兀轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.3)A<0,方程o?+bx+c=0无实根，二次两数的图象与兀轴无交点，二次函数无零点.二、经典例题导讲［例1］不等式l°g(x2+2)(3x2-2x-4)>

3、log(^+2)(x2-3兀+2)・错解：vx2+2>1，3x~2%—4〉一3x+2,/.2x2+x-6>0,:.x>—或兀<-2.2错因：当x=2时，真数x2-3x+2=0且x=2在所求的范围内(因2>-),2说明解法错误.原因是没有弄清对数定义.此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性.3x2-2x-4>0—3x+2>0兀〉舟或兀<-23兀~—2x—4〉—3x+2/.x>2或兀<-2.［例2］将进价为8元的商品,按每件10元售出,每天可销售0件,若每件售价涨价0.

4、5元,其销售量就减少10件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润.错解：设每件售价提高x元，利润为y元，贝ijy=(8+x)(2OO-2Ox)=2O［-(jc-1)2+81］ymax=1620(元)错因：没理解题意，每天销售0件是在定价10元时的情况下，所设的应理解为在定价目10元的基础上,再每件售价提高x元,故利润每件应为(2+x)元，此时的销售量为(0-20%)•■兀正解：设每件售价提高X元，利润为y元，则y=(24-x)(200-20%)=-20(%-4)2+720故当

5、兀=4,即定价为14元时，每天可获得授大利润为720元.［例3］某工厂改进了设备，在两年内牛产的月增长率都是m,则这两年内第二年三月份的产值比第一年三月份的产值的增长率是多少？错解：设第一年三刀份的产值为3,则经过二年，三刀份的产值是a(l+m)11,则所求增长率为°(1+加)口_67=(］+加尸一］,或把第二年三月份的产值写为a(l+m)13.a错因：对增长率问题的公式y=N(l+“T耒透彻理解1佃造成错解，或者是由于审题不细致而造成题意的理解错谋•若某月的产值是a,贝ij此后第兀月的产值为a(

6、+myf指数兀是基数所在时间后所跨过的时间间隔数.正解：设第一年三月份的产值为a,则第四个月的产值为a(l+m)，五月份的产值为a(Hm)2,从此类推，则第二年的三月份是第一年三月份后的第12个月，故第二年的三月份的产值是a(l+m)12,又由增长率的概念知，这两年的第二年的三月份的产值比笫一年的三月份的产值的增长率为G(l+")"一。=(1+诃2一1a［例4］在一个交通拥挤及事故易发生路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速v(单位：km/h)的平方和车身长/(单位：m)的乘积与车距

7、d成正比，H.授小车距不得少于半个年身长.假定车身长均为/(单位：m)且当车速为50(伽/力)时，年距恰为车身长，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使在此路段的车流量Q最人？(车流量二——空——)车距+车身长错解：d=,Wv=50,d=/代入得R二一!一，A!—v2/,又将d=丄/代入得v=25^2,250025002由题意得〃=—V2/(V>25^2)2500lOOOvd+1lOOOv(v>25a/2)/(1+2500}…lOOOv1OOO/100025000.=<—=/(1+—)/(-+—^―

8、)/.2—12500丿v25002500・・・当口仅当v-50时，gmax=—综上所知，v=50ikm/h｝时，车流量Q取得最大值.错因：上述解法屮结果虽然正确，但解题过程屮是错谋的，即虽然车速要求v>25V2,但在行驶过程中车速冇可能低于25血(W/?),所以解题材中应分两类情形求解，得分段函数.—v2/(v>25V2)正解：(1)依题意,2500-I(v<25a/2)121000v(v>25a/2)25001°%525血)显然当v<25a/2时，Q是关于u的增函数