资源描述：
《不等式恒成立问题中的主元策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、“不等式恒成立问题中的主元策略”课堂设计与反思慈溪市三山高级中学任雪琼摘要：不等式恒成立问题是近年來高考及其他各类考试中的热点和亮点问题，多以压轴题的形式出现。解决这类问题最难的地方，也是最关键的地方是主元（主变量）的恰当处理。高考复习阶段,冇必要设计一节专题课，对主元的选择问题进行仔细地剖析。从常见题型出发，由浅入深，层层递进，使学生能通过深入学习把握问题的本质，从而更好地解决这类问题。关键字：微专题课:不等式：恒成立；主元；参数；构造函数:圾值:多变量恒成立问题一直是高中数学的重耍内容。它是函数、方程、不等式、
2、导数等内容交汇处的一个较为活跃的知识点。能考杳学生的综合解题能力，在培养学生思维的灵活性、创造性等方而都起到积极作用，因而很受命题者的青睐，是近几年来高考及各类数学考试的热点问题。在高三第二轮复习的后半阶段，笔者设计了一节微专题课“不等式恒成立问题屮的主元策略”，达到了比较理想的教学效果。现将本节课的教学设计与反思呈现如Fo1过程设计1.1初步感受高考真题或模拟题实例1（2013宁波一模理第22题）设函数/（兀）=/_饥+乎・（1）试讨论/（兀）在［0,1］上的单调性;（11）求最小的实数力，使得对任意的xgL0,
3、1J及任意实数f,恒成立.实例2（2012浙江理第22题）已知d>o,bw/?,函数f（x）=4ax3-2bx-a+b.（1）证明：当1时，（i）函数/（兀）的最大值为2a-b^a；（“）fM+2a-b+a>0;（11）若-1
4、手，看了考试说明书上的参考答案中提供的方法后还是疑惑重重，不甚理解。通过这两个案例的展示，学生感受到了恒成立问题的重要性，同时告诉他们，本堂课学习之后，前面遇到的困难、疑惑就可以迎刃而解，这样一來，学生的学习热情被充分调动了起來。1.2由作业题分析引入引例(1)已知函数/(兀)=/_2处+4,若当xe[0,2]时，/(%)>0恒成立，则实数Q的取值范围为o设计意图及说明：针对学生的认知情况，若直接从实例屮的高考题或模拟题开始讲，起点太高，学生不易接受，所以要先从常见题型开始，由浅入深，逐个突破难点。为了使引入部分能
5、少花吋间，以便突岀木堂课重点，笔者选择了上节课刚讲过的，学生印象还比较深的一道作业题为引例，作了简要的提问与说明。这样，不但复习了恒成立问题的常见解法，述大大节省时间，避免了头重脚轻的感觉。解法一：利用二次函数根的分布(略)。解法二：变量分离(略)。解法三：转化为求函数最值，当Ae[0,2]H>b/(x)>0恒成立，只需/(x)min>0.仃)当QVO吋，/(x)min=/(0)=4>0成立；:.a<0;(2)当0"52吋，/(x).=/(^)=4-6/2>0,:.02时，/(x)inin=/
6、(2)=8-4«>0,解得dS2又。>2,此时d无解。小结：解法一常用于二次函数；解法二通过变量分离，往往可避免求最值的讨论，但不能变量分离时，此方法失效；解法三是直接求函数最值，更具一般性,但要根据条件，灵活选定主元(主变量)构造函数，才能顺利求解。引例(2)已知函数/(x)=x2-2ox+4,若当圍时，fM>0恒成立,则实数兀的取值范围为设计意图及说明：引例(2)是对引例(1)进行了改编，两则区别是：引例(1)是已知主变元兀的范围，求解参变元。的取值范围；引例(2)是已知参变元Q的范围，求解主变元兀的取值范围。
7、通常，我们习惯把d当作参数，兀当作自变量，但由于引例(2)中给出的条件是d的范围，所以往往要反客为主，构造以。为自变量的一次函数求解，这样就显得很容易了。令F(d)=-Ixa^x1+4,解析：以Q为主元,ae-1,-需弘馬^。，等价丁彳5zz>x<1.L2」F(-)>02小结：当问题中出现两个变量，其中一个变量范围已知，另一个变量范围为所求，这时习惯上已知谁的范围就视为谁的函数，即：谁有范围谁做“主”。1.3逐步探究变式1已知函数/(切=宀2似+4,若对任意的心卜刖，%€[0>2],恒有/(x)-m>0,求实数加的
8、取值范围.设计意图及说明：笔者在引例原有数据的基础上进行改编，目的是减少计算量，通过对比体会选主元的重要性。由于两个变量兀、。都有范围，所以可先以x为主元，也可先以Q为主元。此题可先转化为：m
