正反比例函数及函数的综合

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1、专题七正、反比例函数及函数的综合一、考点分析课程标准对正反比例函数的要求：1、理解正比例函数；2、结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式.3、能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式探索并理解其性质（k<0或k>0时，图象的变化）4、能用反比例函数解决某些实际问题.函数的自身结构特点和它在数学中的地位决定了它不仅与数学其他知识有着密切的联系，而且还有着极为广泛的应用．因此，它是联系数学知识间或数学与实际问题问的纽带和桥梁，是中考数学试卷中不可或缺的重要内容．其呈现方式灵活多变，无论在填空题

2、、选择题，还是解答题中，都有考查函数知识的内容，特别在压轴题中，函数常常起着其他知识不可替代的作用．关于正反比例函数每年中考都要涉及到，难度均在0.8以上，属于给同学送分题目，只要同学们掌握好正反比函数的基本知识、基本性质和最基本的题目类型就可以应付自如，因此给同学们提出以下复习策略：打好“常规”基础,抓住“常规”题型,适当拓宽“新题”；强化在文字语言的描述中寻找数量关系的训练,注意图、表信息的提取、数形结合的运用；注重实际检验.为了更好地方便同学们掌握正、反比例函数的图象和性质，现列表如下：函数正比例函数反比例函数表达式y

3、=kx(k≠0)(特殊的一次函数)图象xy0yoxk>0k<0k>0k<0性质（1）k>0，图象经过一、三象限k<0，图象经过二、四象限（2）k>0，y随x的增大而增大k<0，y随x的增大而减小（1）k>0，图象位于一、三象限k<0，图象位于二、四象限（2）k>0，每个象限内y随x的增大而增大k<0，每个象限内y随x的增大而减小几点补充：（1）对称性：正比例函数图象是轴对称图形，反比例函图象既是轴对称也是中心对称，直线是轴对称，单独考查对称性的题目比较少，在中考中常常结合面积问题求点坐标时出现，如直线y=kx与双曲线交于A、

4、B两点，则A、B两点关于原点对称，已知A点坐标根据对称性就很容易知道B点坐标.（2）自变量x增大或减小时，反比例函数的两支曲线都无限接近于坐标轴，但是永远不能到达x轴或y轴.直线是向两方无限延伸的.（3）几何意义：正比例函数中的k值刻画了直线的倾斜程度，k值的正负决定了直线是上升的还是下降的；反比例函数解析式中的k值常常和面积联系在一起，过图象的任意一点P向x轴和y轴作垂线，它们与坐标轴围成的矩形面积于.S=PM×PN=在中考中，对正反比例函数的考查常常以选择、填空题出现，在解答题考查时往往求解解析式，和其他问题综合考查.下

5、面介绍一下确定函数关系式的方法：确定函数关系式的方法：⑴由题意设出函数关系式（待定系数法）；⑵根据图象过已知点或通过别的途径（看图象、语言叙述等）告诉的自变量与因变量的对应关系列出关于待定系数的方成（组）；⑶解关于待定系数的方程（组），求出待定系数；⑷将求出的待定条件代回到原来设的关系式中即可求出.求函数解析式的步骤简记：一设（优选函数解析式，尽量用概念定系数，使待定的系数越少越好）二构（将点的坐标代入解析式，构造待定系数的方程或方程组，）（用已知等量关系或几何条件，构造待定系数的方程或方程组）三解（解方程或方程组）四回代（

6、将解出来的系数代入所设的函数解析式）将点的坐标代入解析式，是构造关于“系数”方程的主要方法，转化点的坐标是求函数解析式的重要方法.正比例函数的表达式y＝kx（k≠0），需要一个独立条件.反比例函数的表达式（k≠0），需要一个独立条件.一个独立条件可以是一个点的坐标，可以是与其他点构成的图形的面积等形式.二、典例分析1、题型1：有关正、反比例函数的概念例1：（1）函数是①正比例函数，则m=；②反比例函数，则m=______（2）反比例函数中，k与x的取值情况是（）A.k≠0，x取全体实数B.x≠0,k取全体实数C.k≠0，x≠

7、0D.k、x都可取全体实数对于（1）很好地考查了正、反比例函数形式的统一性，最本质的差别在于x的次数是不同的，当m-1等于1时，它代表正比例函数，当m-1等于-1时它代表反比例函数图象.对于（2）结合分时考查了反比例函数的自变量的取值范围问题.跟踪练习：下列函数，①;②;③;④;⑤;⑥；其中是y关于x的反比例函数的有：_________________.2、题型2：有关正、反比例函数的图象和性质：yxoyxoyxoyxoABCD例2：（1）正比例函数和反比例函数在同一坐标系内的图象为（）点拨：用数形结合的思想来考虑这类问题依

8、形判数、由数思形，先假定正比例函数图象，再去看反比例图象是否可能，或者先假定反比例函数，再去判断正比例函数图象.（1）看一次函数的图象根据图象的走向定k的符号：上升的，k＞0；下降的，k＜0或根据所在象限定k的符号：一、三象限，k>0；二四象限，k<0（2）看反比例函数图象：根据图象的位置