第7章+马尔可夫预测方法

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1、第七章马尔可夫预测方法第一节马尔可夫链的基本概念第三节马尔可夫预测应用第二节马尔可夫预测的基本原理第一节马尔可夫链的基本概念一、马尔可夫链首页注:而与以前的状态二、一步转移概率马氏链在时刻n处于状态i的条件下，到时刻n+1转移到状态j的条件概率，即称为在时刻n的一步转移概率，首页注:由于概率是非负的，且过程从一状态出发，经过一步转移后，必到达状态空间中的某个状态一步转移概率满足一步转移矩阵称为在时刻n的一步转移矩阵首页即有有限马氏链状态空间I={0，1，2，…，k}首页齐次马氏链即则称此马氏链为齐次马氏链（即关于时间为齐次）初始分布首页注马氏链在初始时刻有

2、可能处于I中任意状态，初始分布就是马氏链在初始时刻的概率分布。绝对分布概率分布称为马氏链的绝对分布或称绝对概率定态分布即首页例1不可越壁的随机游动设一质点在线段[1，5]上随机游动，状态空间I={1，2，3，4，5}，每秒钟发生一次随机游动，移动的规则是：（1）若移动前在2，3，4处，则均以概率向左或向右移动一单位，或停留在原处；（2）若移动前在1处，则以概率1移到2处；（3）若移动前在5处，则以概率1移到4处。试写出一步转移矩阵.首页分析故12345首页其一步转移矩阵为若将移动规则改为（1）若移动前在2，3，4处，则均以概率向左或向右移动一单位；（2）若

3、移动前在1，5处，则以概率1停留在原处。因为质点在1，5两点被“吸收”，故称有两个吸收壁的随机游动首页在马氏链的研究中，须研究“从已知状态i出发，经过n次转移后，系统将处于状态j”的概率.三、n步转移矩阵1．n步转移概率系统在时刻m从状态i经过n步转移后处于状态j的概率称为n步转移概率由于马氏链是齐次的，这个概率与m无关首页显然有2．n步转移矩阵称为n步转移矩阵规定首页注（1）用一步转移概率表示多步转移概率首页注I={1，2，…，N}由矩阵的乘法规则，得表示：在时刻n，各状态的概率等于其初始状态的概率与n步转移概率矩阵之积。若链是齐次的，则有首页遍历性与平

4、稳分布非周期、正常返状态为遍历状态定义1使得则称此马氏链具有遍历性马氏链的遍历性表明不论从哪一个状态i出发，当转移的步数n充分大时，转移到状态j的概率都接近于正常数首页第二节马尔可夫预测的基本原理定理1则此马氏链是遍历的，且中的是方程组j=0，1，2，…，s的满足条件的唯一解注1定理表明不论从链中哪一状态i出发，都能以正概率经有限次转移到达链中预先指定的其它任一状态。定理给出了求平稳分布的方法。注2首页例1其一步转移矩阵为试证此链具有遍历性，并求出平稳分布。解由于首页所以因此，该马氏链具有遍历性。由定理1得解得所以马氏链的平稳分布为X123首页定理2（1）

5、若状态是正常返，则该链存在平稳分布，且平稳分布（其中是从状态j出发首次返回状态j的平均时间）（2）若所有状态是瞬时态，或所有状态是零常返态，则不存在平稳分布。（3）若是有限马氏链，则一定存在平稳分布。首页1、市场占有率预测设某地有1600户居民，某产品只有甲、乙、丙3厂家在该地销售。经调查，8月份买甲、乙、丙三厂的户数分别为480，320，800。9月份里，原买甲的有48户转买乙产品，有96户转买丙产品；原买乙的有32户转买甲产品，有64户转买丙产品；原买丙的有64户转买甲产品，有32户转买乙产品。用状态1、2、3分别表示甲、乙、丙三厂，试求（1）转移概率

6、矩阵；（2）9月份市场占有率的分布；（3）12月份市场占有率的分布；（4）当顾客流如此长期稳定下去市场占有率的分布。首页第三节马尔可夫预测应用解（1）由题意得频数转移矩阵为再用频数估计概率，得转移概率矩阵为（2）以1600除以N中各行元素之和，得初始概率分布（即初始市场占有率）首页所以9月份市场占有率分布为（3）12月份市场占有率分布为首页（4）由于该链不可约、非周期、状态有限正常返的，所以是遍历的。解方程组即得当顾客流如此长期稳定下去是市场占有率的分布为返回首页注：当销售份额达到平衡时，各公司分别占总销售额中的那一部分均保持不变。但在某些情况下，参与竞争

7、的公司、企业中可能会有一个或多个被完全逐出市场。例如：转移矩阵为：厂家A从B与C双方得到顾客，而从不失去顾客，则照此趋势发展下去，厂家A将独占100％的市场。2、销售策略对市场占有率的影响A公司的市场占有率从30％降至最终的21.9％，这是假定以状态转移概率保持不变为前提的。如果公司的经营决策者看到了这种不利趋势，并制定某种策略（如销售策略）来扭转这种不利趋势，则会试公司在市场上保持较有利的地位。（1）保留策略指尽力保留公司原有顾客的各种经营方针与对策。如：采用提供优质服务或对连续两期购货的顾客实行折价优惠等方法。设A公司采用保留策略后，减少了其原有顾客向

8、C公司的流失，使保留率从原来的70％提高到85％，则转移矩阵为：则