第6章+马尔可夫预测方法

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1、第6章马尔可夫预测方法6.1马尔可夫预测的基本原理6.2马尔可夫预测的应用思考与练习6.1马尔可夫预测的基本原理6.1.1马尔可夫链为了表征一个系统在变化过程中的特性（状态）,可以用一组随时间进程而变化的变量来描述。如果系统在任何时刻上的状态是随机的,则变化过程就是一个随机过程。设有参数集T(-∞,+∞),如果对任意的t∈T,总有一随机变量Xt与之对应,则称{Xt,t∈T}为一随机过程。如若T为离散集（不妨设T={t0,t1,t2,…,tn,…}）,同时Xt的取值也是离散的,则称{Xt,t∈T}为离散型随机过程。设

2、有一离散型随机过程,它所有可能处于的状态的集合为S={1,2,…,N},称其为状态空间。系统只能在时刻t0,t1,t2,…改变它的状态。为简便计,以下将Xtn等简记为Xn。一般地说,描述系统状态的随机变量序列不一定满足相互独立的条件,也就是说,系统将来的状态与过去时刻以及现在时刻的状态是有关系的。在实际情况中,也有具有这样性质的随机系统：系统在每一时刻（或每一步）上的状态,仅仅取决于前一时刻（或前一步）的状态。这个性质称为无后效性,即所谓马尔可夫假设。具备这个性质的离散型随机过程,称为马尔可夫链。用数学语言来描述就是：如

3、果对任一n>1,任意的i1,i2,…,in-1,j∈S,恒有P{Xn=j

4、X1=i1,X2=i2,…,Xn-1=in-1}=P{Xn=j

5、Xn-1=in-1}(6.1)则称离散型随机过程{Xt,t∈T}为马尔可夫链。例如,在荷花池中有N张荷叶,编号为1,2,…,N。假设有一只青蛙随机地从这张荷叶上跳到另一张荷叶上。青蛙的运动可看作一随机过程。在时刻tn,青蛙所在的那张荷叶,称为青蛙所处的状态。那么,青蛙在未来处于什么状态,只与它现在所处的状态i(i=1,2,…,N)有关,与它以前在哪张荷叶上无关。此过程就是一个马尔可夫

6、链。由于系统状态的变化是随机的,因此,必须用概率描述状态转移的各种可能性的大小。6.1.2状态转移矩阵马尔可夫链是一种描述动态随机现象的数学模型,它建立在系统“状态”和“状态转移”的概念之上。所谓系统,就是我们所研究的事物对象；所谓状态,是表示系统的一组记号。当确定了这组记号的值时,也就确定了系统的行为,并说系统处于某一状态。系统状态常表示为向量,故称之为状态向量。例如,已知某月A、B、C三种牌号洗衣粉的市场占有率分别是0.3、0.4、0.3,则可用向量P=(0.3,0.4,0.3)来描述该月市场洗衣粉销售的状况。

7、当系统由一种状态变为另一种状态时,我们称之为状态转移。例如,洗衣粉销售市场状态的转移就是各种牌号洗衣粉市场占有率的变化。显然,这类系统由一种状态转移到另一种状态完全是随机的,因此必须用概率描述状态转移的各种可能性的大小。如果在时刻tn系统的状态为Xn=i的条件下,在下一个时刻tn+1系统状态为Xn+1=j的概率pij(n)与n无关,则称此马尔可夫链是齐次马尔可夫链,并pij=P{Xn+1=j

8、Xn=i}i,j=1,2,…,N称pij为状态转移概率。显然,我们有转移矩阵设系统的状态转移过程是一齐次马尔可夫链,状态空间S=

9、{1,2,…,N}为有限,状态转移概率为pij,则称矩阵为该系统的状态转移概率矩阵,简称转移矩阵。为了论述和计算的需要,引入下述有关概念。(6.2)概率向量对于任意的行向量（或列向量）,如果其每个元素均非负且总和等于1,则称该向量为概率向量。概率矩阵由概率向量作为行向量所构成的方阵称为概率矩阵。对于一个概率矩阵P,若存在正整数m,使得Pm的所有元素均为正数,则称矩阵P为正规概率矩阵。例如,矩阵中每个元素均非负,每行元素之和皆为1,行数和列数相同,为2×2方阵,故矩阵A为概率矩阵。概率矩阵有如下性质：如果A、B皆是概率矩

10、阵,则AB也是概率矩阵；如果A是概率矩阵,则A的任意次幂Am(m≥0)也是概率矩阵。对k≥1,记p(k)ij=P{Xn+k=j

11、Xn=i}P(k)=(p(k)ij)N×N称p(k)ij为k步状态转移概率,P(k)为k步状态转移概率矩阵,它们均与n无关（从式(6.4)也可看出）。特别地,当k=1时,p(1)ij=pij为1步状态转移概率。马尔可夫链中任何k步状态转移概率都可由1步状态转移概率求出。(6.3)由全概率公式可知,对k≥1,有（其中P(0)表示单位矩阵）p(k)ij=P{Xn+k=j

12、Xn=i}=P{Xn+k-

13、1=l

14、Xn=i}·P{Xn+k=j

15、Xn+k-1=l}=p(k-1)ilplji,j=1,2,…,N其中用到马尔可夫链的“无记忆性”和齐次性。用矩阵表示,即为p(k)=P(k-1)P,从而可得p(k)=Pkk≥1记t0为过程的开始时刻,pi(0)=P{X0=X(t0