（教育精品）5.5用二次函数解决问题

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1、中考数学专题复习——细品带参二次函数问题【问题探究】【问题1】在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2−2mx+m−2（m≠0）的顶点为P，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴负半轴交于点C．连接PC并延长交x轴于点D．若PC∶CD=4∶5，求：抛物线的解析式．【问题2】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+6mx＋n（m＞0）与 x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，抛物线与y轴交于点D，直线BC交y轴于E，S△ABC：S△AEC=2∶3．（1）求点A的坐标；（2）将△ACO绕点C顺时针旋转一定角度后，点A与B重合，此时点O恰好也在y轴上，求抛物

2、线的解析式． 【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋n（m＜0）的顶点为A，与x轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴正半轴交于点D，连接AD并延长交x轴于E，连AC、DC．S△DEC∶S△AEC＝3∶4．（1）求点E的坐标；（2）△AEC能否为直角三角形？若能，求出此时抛物线的函数解析式；若不能，请说明理由．【中考链接】如图，直线x=﹣4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A，交直线x=﹣4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，且AD：BD=1：3．（1）求点A的坐标；（2）若△OBC是等

3、腰三角形，求此抛物线的函数关系式．26.（1）设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，由S△DEC∶S△AEC＝3∶4得OE∶OF=3，（2分）由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，∴OE=3，∴E（—3，0）（4分）（2）由题意得顶点A的坐标为（1，43n），，由∠EAC=90°得，=4×2，（8分）∴(负舍)（9分）∴(x-1)2+27．解：（1）得出A(－5，0)．……………………………（本步骤4分）（2）当A(－5，0)时，得出m＝（本步骤5分）．……（本步骤1分）27．（1）∵y＝ax2＋2ax＋c＝a(x＋1)2＋c－a，∴它的对称轴为x＝－1．…………………（1分

4、）又∵DE∶EF∶FB＝1∶1∶2，且DM∥HE∥OF，∴B（2，0），且D点的的横坐标为－2．………………………………………………（2分）由此可得D(－2，c)．又∵点C(0，c)，∴D、C关于x＝－1对称．故∠DCF＝90°．（3分）从而可证△DCF≌△BOF．∴OF＝CF，即点F为OC的中点．……………………（4分）（2）∵△OBE的面积为2，B（2，0），∴E（－1，－2）．…………………………（5分）由此可得F（0，－），C（0，－）．…………………………………………………（6分）把B（2，0）、C（0，－）代入y＝ax2＋2ax＋c可得a＝，c＝－．∴y＝x2

5、＋x－．………………………………………………………………………（7分）（3）以DF为直径的圆能够恰好经过点P．由（1）可得F（0，），E(－1，c)，D（－2，c)，∴DE＝．要使以DF为直径的圆恰好经过点P，有EP＝DE＝，…………………（8分）∵E(－1，c)，P(－1，c－a)，∴EP＝c－(c－a)＝a－c．∴a－c＝．…………………………………………………………………（9分）另一方面，由B（2，0）可得8a＋c＝0，即c＝－8a，把它代入上式可得a＝．∴y＝x2＋x－．……………………………………………………………（10分）