一类半可微优化问题的解集

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1、笫20卷第2期2011年4月运筹与管理0PERATIONSRESEARCHANDMANAGEMENTSCIENCEV01．20．No．2Apr．2011一类半可微优化问题的解集薛声家，杨凡，张先郁(髓南大学管理学院，广东广州510632)摘要：本文考虑线性约束条件下连续与半可微的伪线性(既伪凸又伪凹)函数的优化问题．使用伪线性函数的性质推导了廨集的一般表达式，并基于用右侧导数代替既约梯度的广义凸单纯形法，给出了唯一解的条件以及当唯一性条件不满足时求出解集的计算步骤，最后给出了算例。关键词：非线性优化；解集；广义凸单纯形法；半可

2、微函数：伪线性；右侧导数中图分类号：0221．2文章标识码：A文章编号：100％3221【2011)02—0001—06SolutionSetsofaClassofSemidifferentiableOptimizationProblemsXUESheng-jia，YANGFan，ZHANGXian—yu(SchoolofManagement，JinanUniversity，Guangzhou510632，China)Abstract：Theproblemofoptimizingacontinuousandsemidiffer

3、entiablepseudolinear(bothpseudoconvexandpseudoeoneave)funetionwithlinearconstraintsisconsidered．Bymeansofthepropertiesofpseudolinearity，thegeneralexpressionforthesolutionsetisderived．BasedontheextendedconvexsimplexmethodthatUSeSright—sidedderivativesinsteadofreduced

4、gradientvector，theuniquenessconditionofthesolutionandtheeomputa—tionalproceduretofindoutthesolutionset(iftheuniquenessconditionisnotsatisfied)areprovided．Finally，anillustrativeexampleisalsogiven．Keywords：nonlinearoptimization；solutionset；extendedconvexsimplexmethod；

5、semidifferentiablefunction；pseudolinearity；right—sidedderivative0引言在最优化理论和应用领域中，求出优化问题解集的研究具有较重要的理论意义和实践价值，因为决策者可以根据自己的偏好从解集中挑选解决现实经济管理最满意的方案．早期已有很多关于线性优化问题解集的工作¨。1，也有不少工作提出了一些非线性优化问题解集的多种特征"”1，然而还少见有求出非线性优化问题解集的研究．文献¨引和¨¨的研究了当目标函数可微时一些非线性优化问题的解集．本文考虑线性约束条件下，目标函数在可行

6、集上为半可微且伪凸又伪凹的优化问题，刻画了该类问题解集的结构，给出了确定解集的计算步骤，并附有算例。1基本概念与性质本节从回顾一些概念开始。收稿日期：2010-09-29基金项目：“211工程”子项目(50630060)；广东省教育厅科研重大项目(20060914009)作者简介：薛声家(1944一)．男，广东潮阳人，教授，博士生导师，研究方向：管理科学与管理决策、最优化；杨凡．张先郁，管理学院博士研究生。2运筹与管理2011年第20卷定义1p·坦1设厂是定义在t／,维空间E“中的开集D上的实值函数，菇ED，则，在菇沿方向d∈

7、E”的右侧导数定义为似石；d)：lim世苎掣(1)这里假定上述极限存在。对于d=0，定义，：(髫；0)=0。若对于任意茗∈D，任意方向dEE4／在茗沿方向d的右侧导数都存在，则称厂在D上半可微。命题1设，为连续和半可微函数，则有(a)对于任意AI>0／：(z；Ad)=V：(石；d)(b)，：(石；d‘+d2)=，：(戈；d1)+，：(石；d2)(c)／：(z；一d)=一厂：(石；d)证明显然的。定义2c9．131称函数，在E8的开子集D上是伪凸的，若对任意两点茗1，z2∈D，有，：(茗1；z2一算1)≥0蕴涵以石2)≥八x1)

8、(2)或等价地以茗2)<以茗1)蕴涵，：(石1；茁2一菇1)<0(3)函数厂称为伪凹的，若一，是伪凸的，即，：(菇。；石2一髫。)≤0蕴涵尺石2)≤0．(茗‘)(4)或等价地八茗2)>八省1)蕴涵／：(茗1；菇2一z1)>0(5)函数，称为伪线性，若它既是伪凸又是伪凹的．下面