1992一类近似拟可微函数的多目标规划解

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第9卷第1期重庆师范学院学报(自然科学版)JouRNALOFCHONGQINGTEACHERSCOLLEGEVo19No1(Natura

2、ScienceEdit~on)一类近似拟可微函数的多目标规划解扬新民(数学系)段虞荣(重庆大学系统工程与应用数学系)摘要：末文利用半无限GOrdan型选择定理，对近似拟可微的带不等式约束的函数给出7多目标规划解的必要条件．同时在一类新的广jL凸性条件下给出了解的充分条件．此项研究改进T[1—2]中的结果。关键词多目标驯划近似拟撒分，选择定理中国法分类号{O221．21前言和概念近年来，随着对C

3、larke广义导数和苏联学派的拟可镦概念的提出和深八掰究，单目标非线性规划的理论和算法有了长足的发展。近年来的研究表明，CIarke广义导数在多目标规划研究中获得成功。那么，近似拟可微函数情行又怎样呢?本文首先引八近似拟可微概念，并通过例子说明它是一粪比局部Lipschitz函数粪和拟可微函数类更广的函数类．其次．获得了一个非常一般的半无限Gordan型选择定理，并利用它得到了函数是近似拟可镦，带不等式约束的多目标规划问题解的最优性必要条件．最后，在更广义的凸性条件下讨论了这类多目标规划问题解的充分性条件．对于R“中一个非空集合c，我们用Co(c)，Con(c)和c分别表示c

4、的凸包，c生成的凸锥和C的闭包．．c的极锥C={口∈RI·x>10，Vx∈C}c在口点的正规锥N(C，口)=f∈I∞·(一口)≤0，Vx∈c}令X是R中开子集，对Va∈Xo，函数f在口点的上Dini方向导数定义为)=liraSup⋯函数，在口点的clarke方向导数定义为1991一O6—21收稿维普资讯http://www.cqvip.com重庆师范学院学报(自然科学版)第9卷，。(a；x)~limsup⋯—}D显然．，；+(；z)≤，。(；z)，Vx∈R函数，在口点的方向导数定义为，，()：!ira盟立^r，0，函数，：X。--*R称为在点方向可擞的，若对任意z∈R，f(；

5、z)均存在。显然f(iz)≤，。(口：z)，VX∈R。函数f称为在x。上拟可微，若函数f在x。的每一点均方向可微且对每个。∈Xo，存在R呻的一个紧凸集M()，使得f(；z)=max一，Vz∈R∈M)定义1：函数f：X。一R称为在点∈x。处是近似拟可微，若，在。点某邻城内连续且存在Rn中的紧凸子集d，()，使得f+(：z)≤maxz，Vz∈R∈，(0)并称，(0)为，在点的近似拟微分。由上述定义，不难证明局部Lipschitg函数和拟可微函数均是近似拟可微的。但是，反之不然，反例如下：．／z+，z≥0或y+x≥0或+z≤0t取f(x，)=i0，y≥0且y+z0；＼y一√一y，z

6、<0且一z0)对，不难验证．对任意正数R．If(x，y—f(o，0)I丰R0-(x，y)一(0，0)I{即I￡一fI丰R(t

7、+f)(f>0足够小时)。从而知f(x，y)在(0，0)点不是局部Lipschltz函数。本文考虑如下多目标规划问题。(MP)minF(x)S·t·g(x)0，x∈C其中c是Rn中凸集，F(z)；(，，(x)，⋯，，())，g()=(g，()，⋯，垂())。定义2设z。∈C，g(xo)0，则称z。为(MP)的弱有效解，若不存在∈C，维普资讯http://www.cqvip.com第1期杨新民股虞荣：一类近似拟可微函数的多目标规划解g(x)O，满足F()

8、将给出Gordan型择一定理的一个推广结果，它对下节导出多目标规划解的必要条件是很有用的。定理1：设p是R中的一个非空紧集，D是R中的凸锥．则下面两式有且仅有一式成立：({)

9、x∈D，使得maxp·