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1、高考数学题中永不消逝的“离心率”余继光312030绍兴柯桥山阴路785号柯桥中学每年高考数学题屮总是离不开圆锥曲线的“离心率”问题，为什么会如此呢？其一，离心率是圆锥Illi线的重要儿何特征；其二，圆锥Illi线的离心率与其他基本量联系密切，容易产生知识交汇；其三，离心率与非解析几何知识相融合可以检测学生的综合分析能力.1.离心率与平面几何椭圆与双Illi线与平面儿何屮的三角形，四边形，圆等相融合，会形成许多涉及离心率的问题例1・已知椭圆的两个焦点分别为牙，F2,以HF?为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为解析：设椭
2、圆与正三角形的另两条边交于A,B,则AF2=V3c,AF1=c,于是V3c+c=2a,变式1.已知椭圆的两个焦点分别为F
3、,F2,以F1F2为一-条对角线作正方形，若椭圆恰好平分止方形的四条边，则椭岡的离心率为解析：设椭圆与正方形的上两条边交于A,B,则AF2=w迈rnVWV2o4V10-V2AFi=c,•十是c+c=2a,e=—=尸=222V10+V22变式2・设双曲线的两个焦点为H，F2,以RF2为边作正三角形MF,F2,若MF
4、屮点在双曲线上,那么此双曲线的离心率为()A.>/2B.V3C.1+V3解析：IFHXc,IMF】l=c,IMF2
5、l=J^c,^3c~c=2a,e=l+JL选择C变式3.已知双曲线的两个焦点分别为Fi，F2,以RF2为一条对角线作正方形，若双曲线恰好平分正方形的四条边，如图，则双曲线的离心率为解析：设双曲线与正方形的上两条边交于A,B,则AF2=J(¥『+(血尸c=£@c,af£,2于是迥C-返c=2a,224710+V2e——"V10-V2~2例2.已知椭鬪6：亠+匚=1(°>b>o)与双曲线=1有公共的焦点，c2alr"4的一条渐近线与以G的长轴为直径的圆相交于A,B两点,若G恰好将线段AB三等分,则椭圆的离心率为解析:a2—b2=5，24a2b2yb2
6、+4a2y-2xb2x2+a2y2=a2b2Xx2+y2=—，聖厶=—,a2=llb2,9戸+4/92,2变式：（2011年浙江）已知椭圆GCTb_：/_2L=i有公共的焦点，c?的一条渐近线与以G的长轴为肓径的圆相交于4B两A213K.a=2B.6f2=13C.b2=—D.b~=22解析：a2—b2=5,\y=2x血知224t72/?2[b*+a2y^=a2b2lr+4crIr+4a点，若G恰好将线段4B三等分，则O又心5咼2工戸+4/=_9a2=llb2,a2-b2=5a2=lib2b-r选择°1.离心率与图形挖掘解析几何屮的问题是运用代数
7、方法研究几何图形的性质，因此充分挖掘几何图形的几何性质是解决解析儿何问题的金钥匙，离心率是一个重要的儿何性质，所以会与儿何图形性质有着千丝万缕的联系例3.（2010年辽宁）设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果肯线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A.V2B.V3C.V3+12D.V5+12x2V2解析：设双曲线方程为—-^=1（^>0,/7>0）,则F（c,0）,B（0,b）CTb_肓线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=—x垂直，所以一——=-1,即b2=acaca所以c-a-ac,即圧/1=0,所以幺="
8、*或幺=~（舍去）22变式.（2011年福建）设圆锥曲线C的两个焦点分别为F
9、,F2,若曲线C上存在点P满足IPF]I：IFRI：IPF2Z：3：2,则曲线C的离心率等于（）1_p.3212_p.3A.-或—B.一或2C.一或2D.-或―22323284解析：PF、:FiF2:PF2=4:3:2fri：2c：r2=4：3：2,ri=—c,r2=—c,841若圆锥曲线为椭圆，贝ij23=ri+c=-c+—c=4c,e=—3328443若圆锥
10、ll
11、线为双ill］线，则2a=ri—r7=—c——c=—c,e=—「333222例4.已知双曲线二一
12、务=l（d〉0,b>0）的两条渐近线均与圆C：x2+y2-6x+5=0相交,tr则双曲线的离心率取值范围为—3/?h249解析：圆心（3,0）,半径为2,渐近线bx-ay=0,厂W2,—Ke2^-yja2^b2”5522变式（2011年山东）已知双曲线亠一当=1@〉0,方〉0）的两条渐近线均与圆C：x2+y2-erkr6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）xyxyxyxyA.=1B.=1C・=1D.=154453663Q1解析：圆C:（x-3）2+y2=4,c=3,而十=2，则b=2,a2=5,应选A1.离心率与向
13、量运算向量融入解析几何问题Z中，一直是高考数学解析几何问题的一个热点，为了探索离心率大小，需要运用向罐运算建立a,b,C关系，从而达到目
